Kernkonzepte
Wir präsentieren einen polynomiellen Zeitalgorithmus, der das Volumen einer Trunkierung einer Relaxation des Unabhängigkeitspolytops eines Graphen näherungsweise berechnen kann.
Zusammenfassung
Der Artikel befasst sich mit der effizienten Approximation des Volumens eines gekürzten Relaxationspolytops des Unabhängigkeitspolytops eines Graphen.
Zunächst wird gezeigt, dass das Volumen des Polytops als Auswertung eines Graphenpolynoms dargestellt werden kann. Mithilfe der Interpolationsmethode von Barvinok wird dann bewiesen, dass dieses Polynom in einem Bereich um den Ursprung keine Nullstellen hat. Darauf aufbauend wird ein Algorithmus entwickelt, der das Volumen in polynomieller Zeit approximieren kann.
Der Schlüssel ist, das Volumen als Auswertung eines Waldgenerierungspolynoms darzustellen und dann die Gewichte der Bäume in diesem Polynom effizient zu berechnen. Dafür wird eine kombinatorische Methode präsentiert, die die Berechnung in der gewünschten Zeit ermöglicht.
Insgesamt zeigt der Artikel, wie man durch geschickte Umformulierung des Problems und Anwendung von Techniken aus der approximativen Zählung ein effizientes deterministisches Approximationsverfahren für das Volumen eines Polytops entwickeln kann.
Statistiken
Die Laufzeit des Algorithmus ist polynomial in der Anzahl der Knoten des Graphen und invers proportional zum Approximationsfehler.
Zitate
"Wir präsentieren einen polynomiellen Zeitalgorithmus, der das Volumen einer Trunkierung einer Relaxation des Unabhängigkeitspolytops eines Graphen näherungsweise berechnen kann."
"Das Volumen des Polytops kann als Auswertung eines Graphenpolynoms dargestellt werden."