데이터 기반 연속 및 이산 변분 ODE 학습: 수렴 보장 및 불확실성 정량화

Kernkonzepte

이 논문은 데이터로부터 Euler-Lagrange 방정식에 의해 지배되는 동역학 시스템을 학습하는 방법을 소개한다. 가우시안 프로세스 회귀를 기반으로 하는 이 방법은 연속 또는 이산 Lagrangian을 식별하며, 따라서 구조를 보존하도록 설계되어 있다. 또한 관측 데이터 간 거리가 0으로 수렴할 때 수렴성에 대한 엄밀한 증명을 제공한다. 수렴 보장 외에도 이 방법은 모델 불확실성을 정량화할 수 있어, 적응형 샘플링 기법의 기반이 될 수 있다. 저자는 Hamiltonian 함수(에너지) 및 심플레틱 구조와 같이 Lagrangian에 선형인 모든 관측 가능량에 대한 효율적인 불확실성 정량화를 제공한다. 이 논문은 재현 커널 힐버트 공간에서의 볼록 최소화 문제와의 관계를 활용하여, Lagrangian(이산 Lagrangian 포함) 식별 문제의 ill-posedness와 관련된 주요 실용적, 이론적 어려움을 극복한다.

Zusammenfassung

이 논문은 데이터로부터 Lagrangian 동역학 시스템을 학습하는 방법을 소개한다.

1. 연속 Lagrangian 이론:

• Lagrangian L은 Euler-Lagrange 방정식 EL(L) = 0을 만족하는 동역학 시스템을 기술한다.
• Lagrangian L은 Hamiltonian Ham(L), 심플레틱 구조 Sympl(L), 모멘텀 Mm(L), 볼륨 형식 Vol(L)과 관련이 있다.
• Lagrangian은 동치 관계와 대안 관계에 의해 모호성을 가진다.

2. 이산 Lagrangian 이론:

• 이산 Lagrangian Ld는 이산 Euler-Lagrange 방정식 DEL(Ld) = 0을 만족하는 이산 동역학 시스템을 기술한다.
• 이산 Lagrangian Ld는 이산 모멘텀 Mm±(Ld), 이산 심플레틱 구조 Sympl(Ld), 이산 볼륨 형식 Vol(Ld)과 관련이 있다.
• 이산 Lagrangian 또한 동치 관계와 대안 관계에 의해 모호성을 가진다.

3. 정규화 전략:

• Lagrangian의 모호성을 해결하기 위해 정규화 조건을 사용한다.
• 이를 통해 Lagrangian의 기하학적 구조를 고정할 수 있다.

4. 데이터 기반 학습 방법:

• 가우시안 프로세스를 사용하여 연속 및 이산 Lagrangian을 학습한다.
• 학습된 Lagrangian으로부터 Hamiltonian, 심플레틱 구조 등의 선형 관측량에 대한 불확실성을 정량화할 수 있다.
• 이 방법은 재현 커널 힐버트 공간에서의 볼록 최소화 문제와 관련이 있다.

5. 수치 실험:

• 결합 조화 진동자 시스템에 대한 실험 결과를 제시한다.
• 데이터 수가 증가함에 따라 Lagrangian 및 Hamiltonian 예측의 정확도와 불확실성 정량화가 향상됨을 보인다.
• 연속 Lagrangian 모델과 이산 Lagrangian 모델의 성능을 비교한다.

Statistiken

결합 조화 진동자 시스템의 Lagrangian은 Lref(x, ˙
x) = 1
2∥˙
x∥2 −1
2∥x∥2 + 0.1x0x1이다.
관측 데이터 ˆ
x(j) = (x(j), ˙
x(j), ¨
x(j))는 Halton 시퀀스에서 추출된 점들이다.
데이터 수 M = 80, 300에 대한 실험 결과를 제시한다.

Zitate

"이 논문은 데이터로부터 연속 및 이산 Lagrangian을 학습하는 방법을 소개한다. 이 방법은 가우시안 프로세스 회귀를 기반으로 하며, 따라서 구조를 보존하도록 설계되어 있다."
"이 논문은 관측 데이터 간 거리가 0으로 수렴할 때 수렴성에 대한 엄밀한 증명을 제공한다."
"이 논문은 모델 불확실성을 정량화할 수 있어, 적응형 샘플링 기법의 기반이 될 수 있다."

Wichtige Erkenntnisse aus

Machine learning of continuous and discrete variational ODEs with convergence guarantee and uncertainty quantification

by Christian Of... um arxiv.org 05-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.19626.pdf

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