Formaler Beweis von R(4,5)=25

Kernkonzepte

Die Ramsey-Zahl R(4,5) ist gleich 25.

Zusammenfassung

Der Beweis besteht aus mehreren Teilen:

Es wird gezeigt, dass in einem R(4,5,25)-Graphen ein Knoten vom Grad 8, 10 oder 12 existiert. Die Nachbarn dieses Knotens bilden einen R(3,5,d)-Graphen und die Nicht-Nachbarn einen R(4,4,24-d)-Graphen.

Alle R(3,5,d)- und R(4,4,24-d)-Graphen werden bis zur Isomorphie aufgezählt und in Generalisierungen zusammengefasst.

Es wird bewiesen, dass es keine Möglichkeit gibt, einen R(3,5,d)-Graphen und einen R(4,4,24-d)-Graphen so miteinander zu "verkleben", dass kein blauer 4-Clique und kein roter 5-Clique entsteht. Dafür wird ein verifizierbarer SAT-Solver verwendet.

Schließlich werden die verschiedenen Teile des Beweises zusammengefügt, um zu zeigen, dass R(4,5) ≤ 25 ist.

Zusätzlich wird die Existenz eines R(4,5,24)-Graphen bewiesen, um zu zeigen, dass R(4,5) > 24 ist. Damit folgt R(4,5) = 25.

Statistiken

Es gibt 27 Generalisierungen für R(3,5,8), 43 für R(3,5,10) und 12 für R(3,5,12).
Die Anzahl der R(3,5,d)-Graphen und R(4,4,k)-Graphen bis zur Isomorphie sind in Tabelle 1 aufgeführt.

Zitate

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Wichtige Erkenntnisse aus

A Formal Proof of R(4,5)=25

by Thibault Gau... um arxiv.org 04-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.01761.pdf

Tiefere Fragen

Wie lässt sich der Beweis auf andere Ramsey-Zahlen verallgemeinern?

Der Beweis für R(4,5)=25 könnte auf andere Ramsey-Zahlen verallgemeinert werden, indem man ähnliche Methoden und Algorithmen auf andere Konstellationen anwendet. Zum Beispiel könnte man den Ansatz auf R(3,5), R(4,4), R(5,5) oder sogar auf höhere Ramsey-Zahlen wie R(6,6) oder R(7,7) anwenden. Indem man die gleichen Techniken auf verschiedene Ramsey-Zahlen anwendet, könnte man die entsprechenden Ramsey-Zahlen bestimmen und beweisen.

Welche anderen mathematischen Probleme könnten von einem ähnlichen Ansatz profitieren?

Ein ähnlicher Ansatz wie der in dem Beweis von R(4,5)=25 könnte auch bei anderen kombinatorischen Problemen und Graphentheorie-Anwendungen von Nutzen sein. Zum Beispiel könnten Probleme wie das Färben von Graphen, das Finden von maximalen Cliquen oder das Lösen von Satisfiability-Problem (SAT) von einem ähnlichen Ansatz profitieren. Durch die Verwendung von formalen Beweisen, interaktiven Theorembeweisern und speziellen Algorithmen könnte man komplexe mathematische Probleme systematisch und präzise lösen.

Welche Erkenntnisse über die Struktur von Ramsey-Graphen lassen sich aus dem Beweis ableiten?

Aus dem Beweis von R(4,5)=25 lassen sich wichtige Erkenntnisse über die Struktur von Ramsey-Graphen ableiten. Zum Beispiel zeigt der Beweis, dass die Existenz von bestimmten Kombinationen von Cliquen und unabhängigen Mengen in einem Graphen zu bestimmten Ramsey-Zahlen führt. Darüber hinaus verdeutlicht der Beweis die Komplexität und Vielfalt der möglichen Konfigurationen von Graphen, die die Ramsey-Eigenschaft erfüllen. Durch die detaillierte Analyse der Gluing-Probleme und der Verwendung von SAT-Solvern können wir ein tieferes Verständnis für die Struktur und Eigenschaften von Ramsey-Graphen gewinnen.