実数根を入力とする代数式の同一性判定問題

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実数根を入力とする代数式の同一性判定問題（RIT）は、一般化リーマン予想（GRH）の下でcoNPに属し、特に平方根を入力とする場合はcoRPに属することを示した。

Resumen

実数根を入力とする代数式の同一性判定問題

本稿では、実数根を入力とする代数式の同一性判定問題（RIT）の計算量について考察する。RITとは、与えられた代数式が実数根を入力とした際にゼロになるかどうかを判定する問題である。本稿では、RITが一般化リーマン予想（GRH）の下でcoNPに属することを示す。さらに、入力が平方根の場合に限定した2-RIT問題が、GRHの下でcoRPに属し、無条件にcoNPに属することを示す。

代数的数の同一性判定問題は、整数を入力とする算術回路の同一性判定問題（ACIT）の一般化とみなせる。ACITは、入力として与えられた整数を法とする剰余環上で評価することで、ランダム多項式時間アルゴリズムが存在する。しかし、RITは入力となる実数根が無理数となる場合があり、ACITの手法を直接適用することはできない。

Ideas clave extraídas de

Identity Testing for Radical Expressions

by Nikhil Balaj... a las arxiv.org 10-17-2024

https://arxiv.org/pdf/2202.07961.pdf

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量子計算機を用いることで、RITの計算量を改善できるだろうか？

現時点では、量子計算機を用いることでRITの計算量を改善できるかどうかは分かっていません。
RITは、本質的には代数的整数環におけるイデアルの因数分解に関連する問題です。量子計算機は、Shorのアルゴリズムによって整数環における素因数分解を効率的に行えることが知られていますが、これが代数的整数環における因数分解問題や、ひいてはRITの計算量改善に直接結びつくかどうかは、未解決の問題です。
RITの計算量クラスは、GRHの仮定の下でcoNPであり、無条件ではcoRPまたはcoNPであることが示されています。量子計算機を用いることで、これらの計算量クラスに属する問題を効率的に解けるかどうかは、量子計算機における計算量クラスの包含関係が未解明な部分が多く、現時点では明らかではありません。
今後の研究において、量子計算アルゴリズムの開発や、量子計算機における計算量クラスの解明が進むことで、RITに対する量子計算機の潜在能力が明らかになる可能性があります。

実数根ではなく、より一般的な代数的数を入力とする場合、同一性判定問題の計算量はどのように変化するだろうか？

実数根ではなく、より一般的な代数的数を入力とする場合、同一性判定問題（RIT）の計算量は、一般的に増加すると考えられます。

Galois群の複雑性: 実数根の場合、特に2-RITで着目した平方根に対しては、ガロア群の構造が比較的単純で、平方剰余の相互法則などの強力なツールを用いることができました。しかし、一般的な代数的数を含む場合、ガロア群の構造は飛躍的に複雑になり、効率的なアルゴリズムを構築することが困難になります。

因数分解の困難性: RITのアルゴリズムは、本質的に代数的整数環における素イデアル分解を利用しています。実数根の場合、この分解は比較的扱いやすい形になりますが、一般的な代数的数を含む場合、素イデアル分解の計算量が大幅に増加する可能性があります。

数値計算の精度: 実数根の場合、数値計算を用いた近似アルゴリズムが有効な場合がありますが、一般的な代数的数を含む場合、必要な精度が指数的に増加し、実用的な時間内に計算することが困難になる可能性があります。
具体的な計算量の変化は、入力とする代数的数の種類や表現方法、許容される誤差などに依存するため、一概には言えません。しかし、上記のような理由から、実数根の場合と比較して、一般的な代数的数を入力とする同一性判定問題は、計算量の観点からより困難な問題となると考えられます。

RITの計算量に関する知見は、どのような応用が考えられるだろうか？

RITの計算量に関する知見は、一見すると特殊な問題設定に見えますが、いくつかの分野への応用が考えられます。

数式処理システム: RITのアルゴリズムは、数式処理システムにおける効率的な演算アルゴリズムの開発に役立つ可能性があります。例えば、代数的数を含む式の簡約化や、代数的数の等式判定などを効率的に行うために、RITのアルゴリズムや解析手法が応用できる可能性があります。

計算幾何学: RIT、特に2-RITは、ユークリッド空間における幾何学的オブジェクトの距離や角度の計算に関連しています。例えば、2-RITの計算量に関する知見は、点集合のボロノイ図やドロネー三角形分割などの効率的な構成アルゴリズムの開発に繋がる可能性があります。

暗号理論: 代数的数は、近年、格子暗号などの新しい暗号技術の基礎として注目されています。RITの計算量に関する知見は、代数的数に基づく暗号システムの安全性評価や、より効率的な暗号アルゴリズムの設計に役立つ可能性があります。

最適化問題: 一部の最適化問題は、制約条件や目的関数が代数的数を含む形で表現されることがあります。RITの計算量に関する知見は、このような最適化問題に対するアルゴリズムの設計や計算量の解析に役立つ可能性があります。
これらの応用は、まだ探索段階のものも含まれますが、RITの計算量に関する研究が進むことで、上記のような分野において具体的な成果が得られる可能性があります。