Linearer Zeitalgorithmus zur Lösung des verdrehten Konjugationsproblems in dihedralen Artin-Gruppen

Conceptos Básicos

Der Artikel präsentiert einen linearen Zeitalgorithmus zur Lösung des verdrehten Konjugationsproblems für ungerade dihedral Artin-Gruppen.

Resumen

Der Artikel befasst sich mit dem verdrehten Konjugationsproblem für dihedral Artin-Gruppen. Zunächst wird gezeigt, dass jedes geodätische Element einer ungeraden dihedral Artin-Gruppe zu einem minimalen Längenvertreter verdreht konjugiert werden kann, der Garside-frei ist. Für diese minimalen Vertreter wird bewiesen, dass sie durch eine endliche Folge von φ-zyklischen Permutationen und äquivalenten geodätischen Worten miteinander verbunden sind. Darauf aufbauend wird ein linearer Zeitalgorithmus entwickelt, um zu entscheiden, ob zwei Elemente einer ungeraden dihedral Artin-Gruppe verdreht konjugiert sind. Als Anwendung wird gezeigt, dass das Konjugationsproblem in Erweiterungen ungerader dihedral Artin-Gruppen lösbar ist.

Estadísticas

Die Länge eines Wortes w über dem Erzeugendensystem X ist mit l(w) bezeichnet.
Die Länge eines Gruppenelementes g ∈G bezüglich des Erzeugendensystems X ist mit |g|X bezeichnet.

Citas

"Theorem 3.21. The TCP(G(m)), where m is odd, m ≥3, is solvable in linear time."
"Theorem 4.1. Every finitely generated subgroup A ≤Aut(DAm), when m is odd, is orbit decidable."
"Theorem 4.4. Let G = DAm ⋊H be an extension of an odd dihedral Artin group by a finitely generated group H which satisfies conditions (ii) and (iii) from Theorem 4.2 (e.g. let H be torsion-free hyperbolic). Then G has decidable conjugacy problem."

Ideas clave extraídas de

Twisted conjugacy in dihedral Artin groups I

by Gemma Crowe a las arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.16671.pdf

Consultas más profundas

Wie lässt sich das verdrehte Konjugationsproblem für gerade dihedral Artin-Gruppen lösen

Um das verdrehte Konjugationsproblem für gerade dihedral Artin-Gruppen zu lösen, können wir ähnliche Techniken wie für ungerade dihedral Artin-Gruppen anwenden. Zunächst müssen wir die Gruppe in ihre geodätische Form bringen und dann alle möglichen φ-zyklischen Permutationen und äquivalenten Wörter von einem gegebenen Wort aus berechnen. Durch die Anwendung von spezifischen Regeln und Beobachtungen können wir die minimalen Längenrepräsentanten für jedes verdrehte Konjugationsproblem identifizieren. Es ist wichtig, die spezifischen Eigenschaften der Gruppe und der verwendeten Automorphismen zu berücksichtigen, um eine effiziente Lösung zu finden.

Welche anderen Klassen von Artin-Gruppen haben ein lösbares verdrehtes Konjugationsproblem

Andere Klassen von Artin-Gruppen, die ein lösbares verdrehtes Konjugationsproblem haben, sind beispielsweise die freien abelschen Gruppen und die Zopfgruppen. Für diese Gruppen wurden ähnliche Methoden und Algorithmen entwickelt, um das verdrehte Konjugationsproblem zu lösen. Durch die Anwendung von geodätischen Normalformen, spezifischen Automorphismen und zyklischen Permutationen können auch in diesen Gruppen die minimalen Längenrepräsentanten für das verdrehte Konjugationsproblem gefunden werden.

Welche Anwendungen hat die Lösbarkeit des verdrehten Konjugationsproblems in ungeraden dihedral Artin-Gruppen über die Erweiterungen hinaus

Die Lösbarkeit des verdrehten Konjugationsproblems in ungeraden dihedral Artin-Gruppen und deren Erweiterungen hat verschiedene Anwendungen in der Gruppentheorie und verwandten Bereichen. Zum Beispiel kann dies bei der Untersuchung von Gruppenoperationen, der Struktur von Gruppen und der Lösung von Entscheidungsproblemen in Gruppen hilfreich sein. Darüber hinaus können die entwickelten Algorithmen und Techniken auf andere Gruppenklassen angewendet werden, um ähnliche Probleme zu lösen und neue Erkenntnisse über die Gruppenstruktur zu gewinnen. Die Lösbarkeit des verdrehten Konjugationsproblems eröffnet auch Möglichkeiten für weitere Forschung und Anwendungen in der Gruppentheorie und verwandten Gebieten.