Effiziente Verarbeitung und Analyse von Inhalten zur Gewinnung von Erkenntnissen mithilfe von Momentrelaxationen für die lineare Zustandsrückführungsregelung mit nicht-konvexen quadratischen Kosten und Nebenbedingungen

Conceptos Básicos

Durch die Verwendung von Momentmatrizen lassen sich nicht-konvexe Kosten und Nebenbedingungen in der Zustandsrückführungsregelung berücksichtigen. Dies ermöglicht die Lösung von Regelungsproblemen, die anderweitig nicht-konvex wären.

Resumen

Der Artikel präsentiert einen einfachen und effizienten Ansatz, um nicht-konvexe Kosten und Nebenbedingungen in der Zustandsrückführungsregelung zu berücksichtigen. Dazu wird der Reglerentwurf mithilfe von Momentmatrizen des Zustands und der Eingangsgröße abgeleitet.

Es zeigt sich, dass dieser Ansatz es erlaubt, nicht-konvexe Nebenbedingungen durch Relaxierung als Erwartungsnebenbedingungen zu berücksichtigen. Außerdem können die Variablen, in denen die Zustandsrückführungsregelung typischerweise konvexifiziert wird, als Blöcke dieser Momentmatrizen identifiziert werden.

Der Artikel hebt hervor, dass der vorgeschlagene Ansatz je nach Problem zu einer deterministischen oder stochastischen Lösung führen kann. Im deterministischen Fall stimmt die optimale Strategie der relaxierten Formulierung mit einer optimalen Strategie des Originalproblems überein. Im stochastischen Fall ist die optimale Strategie stochastisch und nicht optimal für das Originalproblem.

Weiterhin wird erläutert, wie die stochastischen optimalen Strategien realisiert werden können. Außerdem werden Beispiele präsentiert, die die Vorteile der linearen Zustandsrückführungsregelung mit nicht-konvexen Nebenbedingungen aufzeigen.

Estadísticas

Die Systemdynamik ist gegeben durch xt+1 = ft + Atxt + Btut + wt.
Die Kosten sind gegeben durch E ∑N
t=0 (1 xt ut)⊺ Rt (1 xt ut).
Die Nebenbedingungen sind gegeben durch E (1 xt ut)⊺ Hti (1 xt ut) ≤ 0 für i = 1, ..., s.

Citas

"Durch die Verwendung von Momentmatrizen lässt sich die Zustandsrückführungsregelung konvexifizieren, auch wenn nicht-konvexe Kosten oder Nebenbedingungen vorliegen."
"Im deterministischen Fall stimmt die optimale Strategie der relaxierten Formulierung mit einer optimalen Strategie des Originalproblems überein. Im stochastischen Fall ist die optimale Strategie stochastisch und nicht optimal für das Originalproblem."

Ideas clave extraídas de

On moment relaxations for linear state feedback controller synthesis with non-convex quadratic costs and constraints

by Dennis Graml... a las arxiv.org 03-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15228.pdf

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Wie lässt sich der vorgeschlagene Ansatz auf nichtlineare Systeme erweitern

Der vorgeschlagene Ansatz zur Verwendung von Momentenmatrizen kann auf nichtlineare Systeme erweitert werden, indem die Momentenmatrizen für nichtlineare Zustandsraummodelle verwendet werden. Anstelle von linearen Gleichungen wie im Fall von linearen Systemen können nichtlineare Gleichungen für die Momentenmatrizen abgeleitet werden. Dies ermöglicht die Berücksichtigung von nichtlinearen Dynamiken und nichtlinearen Kosten- und Beschränkungsbedingungen in der Regelungssynthese. Durch die Verwendung von Momenten höherer Ordnung können auch nichtlineare Effekte und Nichtlinearitäten in den Systemen berücksichtigt werden.

Welche Auswirkungen haben unterschiedliche Verteilungsannahmen für die Störungen und Anfangszustände auf die Lösungen

Die unterschiedlichen Annahmen über die Verteilungen der Störungen und Anfangszustände haben direkte Auswirkungen auf die Lösungen des Problems. Wenn beispielsweise die Störungen als normalverteilt angenommen werden, kann dies zu einer stärkeren Betonung der Kostenfunktion führen, die auf der Varianz der Störungen basiert. Eine breitere Verteilung der Anfangszustände kann zu einer größeren Unsicherheit in den Lösungen führen und möglicherweise zu einer verstärkten Robustheit der Regelung führen. Es ist wichtig, die Verteilungsannahmen sorgfältig zu berücksichtigen, da sie die Leistung und Robustheit des Regelungssystems beeinflussen können.

Inwiefern können die Erkenntnisse aus diesem Artikel auf andere Gebiete der Optimierung und Regelungstechnik übertragen werden

Die Erkenntnisse aus diesem Artikel können auf andere Gebiete der Optimierung und Regelungstechnik übertragen werden, insbesondere auf Probleme mit nichtkonvexen Kosten- und Beschränkungsbedingungen. Der Ansatz der Verwendung von Momentenmatrizen zur Konvexifizierung von Regelungssyntheseproblemen kann auf verschiedene Anwendungen wie modellprädiktive Regelung, adaptive Regelung und optimale Regelung angewendet werden. Darüber hinaus können die Konzepte der Momentenrelaxation und der Berücksichtigung von nichtlinearen Effekten in der Regelung auch in anderen Bereichen wie maschinelles Lernen, künstliche Intelligenz und Optimierungsalgorithmen nützlich sein. Die Flexibilität und Effektivität dieses Ansatzes machen ihn zu einem vielversprechenden Werkzeug für komplexe Regelungsprobleme in verschiedenen Disziplinen.