Lokale generalisierte Eigenwertprobleme zur Konstruktion von nicht-symmetrischen Zweigitter-Vorkonditionierern

Conceptos Básicos

Durch Lösen lokaler generalisierter Eigenwertprobleme kann ein effizientes Grobgitter-Teilraum konstruiert werden, um die Skalierbarkeit von Gebietszerlegungsmethoden für nicht-symmetrische lineare Systeme zu verbessern.

Resumen

Der Artikel präsentiert eine abstrakte Analyse von Zweigitter-Gebietszerlegungsmethoden für die Lösung großer linearer Systeme. Der Schlüssel ist die Konstruktion eines geeigneten Grobgitter-Teilraums, der die Skalierbarkeit der Methode gewährleistet.

Zunächst wird eine erweiterte Gebietszerlegung eingeführt, um rein lokale Berechnungen zu ermöglichen. Basierend darauf werden lokale generalisierte Eigenwertprobleme definiert, deren Lösungen den Grobgitter-Teilraum aufspannen. Die Analyse zeigt, dass diese Konstruktion zu einer skalierbaren Zweigitter-Methode führt, deren Konvergenzrate unabhängig von der Anzahl der Subdomänen ist.

Die Methode wird für verschiedene Vorkonditionierer wie Restricted Additive Schwarz, Additive Schwarz und Symmetrized Optimized Restricted Additive Schwarz konkretisiert. Dabei zeigt sich, dass im Fall harmonischer lokaler Lösungen der vorgeschlagene Grobgitter-Teilraum mit bekannten Konstruktionen übereinstimmt.

Estadísticas

Die Konvergenzrate der Zweigitter-Methode ist durch den Ausdruck √(k0k1τ)/(1-ρ) beschränkt, wobei k0 und k1 Konstanten sind, die von der Gebietszerlegung abhängen, τ ein benutzerdefinierter Parameter ist und ρ ein Maß für die Güte des Vorkonditionierers C für die Matrix A.
Wenn τ so gewählt wird, dass √(k0k1τ)/(1-ρ) < 1 gilt, ist der vorkonditionierte Operator M^-1A positiv definit mit einer Koerzivitätskonstante von 1 - √(k0k1*τ)/(1-ρ).

Citas

"Die Skalierbarkeit von Gebietszerlegungsmethoden hängt vom Design eines geeigneten Grobgitter-Teilraums ab."
"Durch Lösen lokaler generalisierter Eigenwertprobleme kann ein effizientes Grobgitter-Teilraum konstruiert werden, das die Skalierbarkeit der Methode gewährleistet."

Ideas clave extraídas de

Coarse spaces for non-symmetric two-level preconditioners based on local generalized eigenproblems

by Fréd... a las arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02758.pdf

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