Concepts de base
適切な虹色彩度数とは、グラフ上の辺彩色において、特定の部分グラフ(ここでは周期グラフ)が虹色にならないような最小の辺数を指す。本論文では、周期グラフC4, C5, C6の適切な虹色彩度数について考察し、その上限を示した。
Résumé
本論文は、適切な虹色彩度数に関する研究を行っている。適切な虹色彩度数とは、グラフ上の辺彩色において、特定の部分グラフ(ここでは周期グラフ)が虹色にならないような最小の辺数を指す。
まず、適切な虹色彩度数sat*(n, F)の基本的性質について述べている。sat*(n, F)はsat(n, F)とは異なる値を持つ可能性があり、sat*(n, F)とsat(n, F)の関係は明らかではない。
次に、周期グラフC4, C5, C6の適切な虹色彩度数について考察している。
C4については、上限sat*(n, C4) ≤11n/6 + O(1)を示し、下限sat*(n, C4) > (11/6 - ε)nを示した。これにより、sat*(n, C4)はsat(n, C4)と定数倍の違いがあることが分かった。
C5については、sat*(n, C5) ≤⌊5n/2⌋ - 4を示した。
C6については、sat*(n, C6) ≤7n/3 + O(1)を示した。
これらの結果から、適切な虹色彩度数sat*(n, F)の一般的な性質は未だ明らかではないが、周期グラフについては一定の理解が得られたと言える。
Stats
n ≥ 7の時、sat*(n, C4) ≤ 11/6 n + O(1)
11/45 > ε > 0 が与えられたとき、n0 ∈ N が存在して、全ての n ≥ n0 に対して sat*(n, C4) > (11/6 - ε)n
n ≥ 9の時、sat*(n, C5) ≤ ⌊5n/2⌋ - 4
sat*(n, C6) ≤ 7/3 n + O(1)