本論文は、定量的プレフィックス非依存目的関数を持つ確率的ゲームにおける期待値問題を考察している。この問題は、システムが考えられるすべての結果に対して期待値において特定の閾値よりも優れたパフォーマンスを発揮することが求められる場合に自然と生じる。
論文の主な貢献は、定量的プレフィックス非依存目的関数に対する期待値問題を、対応する閾値ブール目的関数のほとんど確実に満たされるインスタンスへの（線形個の）還元である。具体的には、期待値問題は、定量的プレフィックス非依存目的関数φと頂点vが与えられたとき、プレイヤー2の戦略に関係なく、vから始まる目的関数φの期待値が与えられた閾値λ以上であるかどうかを判定することである。
この還元は、ブール値のプレフィックス非依存目的関数に対して[18]で導入された手法に基づいており、頂点の値は非決定的に推測され、同じ値を持つ頂点は同じ値クラスにまとめられる。そして、推測された値を検証するために、すべての頂点から、値クラスを離れないことを条件として、ブール目的関数がほとんど確実に（つまり確率1で）満たされることを確認することが重要となる。[18]の研究では、プレフィックス非依存のブール目的関数を扱い、これらの目的関数を満たす確率を考慮しているのに対し、本論文では、プレフィックス非依存の量的目的関数の期待値に対して、この手法の重要な拡張を提供している。
第一に、[18]と同様であるが、重要かつ微妙な違いを持つ条件の集合を提示する。これらの条件は、推測された値が正しい場合にのみ満たされる。頂点の期待されるφ値の推測を検証するのに役立つ特性評価を与える（定理3）。量的目的関数φから始めて、各値クラス内でほとんど確実に満たされることを確認できるブール目的関数を作成する。各推測値クラスでは、閾値ブール目的関数のほとんど確実に満たされることを考慮すれば十分であることを示す。ここで、閾値は値クラスの推測値に依存する。これは、すべての値クラスで同じブール目的関数のほとんど確実に満たされることを確認すれば十分であるという[18]のアプローチとは対照的である。形式的には、特性評価において、ゲーム内の各値クラスについて、値クラス内のすべての頂点vに対して、vから開始して、プレイヤー1（またはプレイヤー2）が、結果のφ値がλ−εφ（またはλ+εφ）よりも厳密に大きい（または小さい）ことをほとんど確実に保証できるかどうかを確認する。ここで、値クラスの推測値はλである。このように、本手法は、範囲が制限されたプレフィックス非依存の量的目的関数φの期待値を、φに対応する閾値目的関数のほとんど確実に満たされるものへと還元する。
第二に、特性評価を満たす値の集合はただ1つであることを示し（定理3）、これは一意の証明書として機能する。したがって、与えられた目的関数に対して、特性評価を検証する手順が多項式時間である場合、同じ目的関数に対する期待値問題を解くためのUP∩coUPへの包含が直接得られる。ここで、UPは一意の非決定性多項式時間計算量クラスである。UP∩coUPへの所属の証明は、値ベクトル（各頂点の値で構成される）が一意であり、多項式個のビットで表現でき、多項式時間で検証できることを示すことによって行われ、一意の短い証明書として機能する。これを示すために、値クラスを分析し、境界頂点を持つクラスと持たないクラス、つまりプレイがエスケープする可能性があるクラスとないクラスに分類する。重要な観察として、ブール目的関数[18]は境界頂点を持たない値クラスをちょうど2つ（つまり、値0と1を持つ極値クラス）持つのに対し、量的目的関数は境界頂点を持たない値クラスを複数持つ可能性があり、計算がより複雑になる。境界頂点を持たない値クラス内を注意深く分析して、その値の粒度を制限し、各値クラスを縮小して問題を到達可能性のインスタンスに還元する。
第三に、対応する閾値目的関数に対するほとんど確実に勝利する戦略の観点から、期待される目的関数に対して最適な両方のプレイヤーの戦略の明示的な構成を与える。各プレイヤーについて、結果として得られるマルコフ連鎖（相手プレイヤーの任意の戦略を固定することによって得られる）を無限ツリーに展開することによって、プレイヤーの定義された戦略の最適性を示す。ツリーの根の値を、ツリーの葉の値を有限の深さdまで切り詰めたときの値で計算し、dを無限大にする。無限ツリーを用いたこの分析は、期待値目的関数に対して最適にプレイするためにプレイヤーが必要とするメモリが、閾値目的関数のほとんど確実に満たされる場合よりも大きくないことも意味する（補題17）。
最後に、本論文の結果は、期待値問題をプレフィックス非依存目的関数に対するほとんど確実に満たされる問題に還元できるが、特に、固定ウィンドウ平均ペイオフ（FWMP(ℓ)）と制限付きウィンドウ平均ペイオフ（BWMP）の2つのバリアントについて考察する。これらの目的関数の両方について、期待値問題がUP∩coUPに属することを示す（定理16と定理24）。この包含は、これらの2つの目的関数に対してεφを記述するために必要なビット数の制限から得られる。FWMP(ℓ)目的関数に対するεφの制限を示すには、個々のプレイで無限に頻繁に発生する長さℓ以下のシーケンスを考慮すれば十分である。BWMPに対するεφの制限の分析は、頂点のBWMP値がゲーム内のいくつかの単純なサイクルの平均ペイオフ値と等しくなければならないことを示すために、いくつかの作業が必要となるため、より複雑である。BWMP目的関数に対するεφの制限を示すために、[6]からのマルコフ連鎖と非確率的1人ゲームに関する観察を利用する（補題25）。ウィンドウ平均ペイオフ目的関数に対するUP∩coUPの上限は、単純な確率的ゲームの特殊なケース[20, 13]と一致するため、改善するには大きな進歩が必要となる。表1に、ウィンドウ平均ペイオフ目的関数に関する結果をまとめる。
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Expectation in Stochastic Games with Prefix-independent Objectives
Questions plus approfondies
期待値問題をほとんど確実に満たされる問題への還元は、他のどのような量的目的関数に適用できるか？
プレイヤーが最適にプレイするために必要なメモリ量が、期待値目的関数とほとんど確実に満たされる目的関数で異なる場合、ゲームの複雑さはどのように変化するか？
本論文の結果は、確率的ゲームにおける学習アルゴリズムの設計にどのような影響を与えるか？
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