비선형 슈뢰딩거 방정식의 Feynman-Kac 공식과 수치 근사에의 응용
이 논문은 일반적인 비선형 시간 종속 슈뢰딩거 방정식에 대한 Feynman-Kac 공식을 제시한다. 이 공식은 Fisk-Stratonovich 적분과 Itô 적분을 모두 포함하는 후방 확률 미분 방정식 프레임워크에 통합된다. 이 Feynman-Kac 표현을 활용하여 딥 러닝 기반 수치 근사 방법을 제안한다. 수치 실험을 통해 제안된 방법의 정확성과 효율성을 검증하고, 결과를 뒷받침하는 수렴 분석을 제공한다.
수치 계산 방법을 이용한 $\mathbb{R}^n$ 부분 다양체 또는 compact Riemannian 다양체에서의 함수 적분
본 논문에서는 compact 부분 다양체 및 compact Riemannian 다양체에서 함수를 수치적으로 적분하는 방법을 제안한다.
신뉴먼 최적 제어 문제에 대한 볼록 다면체 영역의 수치 분석
이 논문은 볼록하고 다면체인 영역에서 뉴먼 경계 제어 문제에 대한 유한 요소 오차 추정을 다룹니다. 다양한 이산화 개념을 고려하며, 각각의 최적 이산화에 대한 오차 추정을 수립합니다. 특히, 제어에 대해 전역적으로 연속인 분할적 선형 함수와 상태에 대해 표준 선형 유한 요소를 사용하는 완전 이산화의 경우, 내부 모서리 각도에만 의존하는 최적 수렴 속도를 증명합니다.
체비셰프 다항식 근사의 탐구: 유계 변동 함수에 대한 오차 추정
유계 변동 함수에 대한 체비셰프 다항식 근사의 최적 오차 추정을 제시한다.
선형 및 비선형 제3차 경계치 문제 시스템의 Galerkin-Bernstein 근사
본 논문은 Bernstein 다항식을 기저 함수로 사용하는 Galerkin 가중 잔차 방법을 이용하여 일차원 일반 비선형 제3차 경계치 문제 시스템의 수치 해를 구하는 것을 다룹니다.
정확하고 상세한 수치 공액 함수 방법을 이용한 리만 곡면 상의 공액 사상 계산
본 논문에서는 평면 영역에 대한 공액 함수 방법을 리만 곡면으로 일반화하여, 복잡한 기하학적 특성을 가진 곡면 상에서의 고정밀 공액 사상 계산 알고리즘을 제안한다.
분수 거듭제곱을 이용한 직교 다항식을 통한 분수 적분 방정식의 수치 해법
분수 적분 방정식을 해결하기 위해 분수 거듭제곱을 이용한 직교 다항식 기반의 스펙트럼 방법을 제시한다. 이 방법은 다양한 분수 적분 방정식, 특히 비합리적 차수, 다중 분수 차수, 비트리비얼 변수 계수, 초기-경계 조건 등을 포함하는 방정식에 대해 지수함수적 수렴 속도를 달성한다.
무작위 샘플링을 통한 몬테카를로 적분 속도 향상
제어 이웃 기법은 최근접 이웃 추정치를 제어 변량으로 사용하여 메트릭 공간에서 몬테카를로 절차의 수렴 속도를 높인다. 이 기법은 함수의 Hölder 정규성에 따라 최적에 가까운 O(n^(-1/2)n^(-s/d)) 수렴 속도를 달성한다.
실험적 단일 및 다중 목표 오차 제어와 부분 미분 방정식에 대한 적응성
이 논문은 유한 요소 근사를 통해 정상 및 비정상 부분 미분 방정식의 경계 및 초기-경계 값 문제에 대한 목표 지향적 사후 오차 제어, 적응성 및 솔버 제어를 검토한다. 특히 다양한 물리학이 결합된 문제의 경우 다중 목표 지향적 오차 제어를 통해 여러 관심 량을 동시에 정확하게 평가할 수 있다.
다차원 B-계열 다중 지수
다중 지수를 이용하여 일반 미분 방정식의 수치 해법을 효과적으로 기술할 수 있다.
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