Concepts de base
In dieser Arbeit wird ein quasi-polynomieller Zeitapproximationsalgorithmus für das Hypergraph-Unzuverlässigkeitsproblem präsentiert. Der Algorithmus liefert eine (1 ± ε)-Approximation der Wahrscheinlichkeit, dass ein Hypergraph bei unabhängigem Ausfall der Hyperkanten mit gegebener Wahrscheinlichkeit p getrennt wird.
Résumé
Der Artikel beschreibt zwei Algorithmen zur effizienten Approximation der Unzuverlässigkeit von Hypergraphen.
Der erste Algorithmus ist einfacher und läuft in mO(log n) Zeit, wobei m die Anzahl der Hyperkanten und n die Anzahl der Knoten im Hypergraphen sind. Er gibt eine (1 ± ε)-Approximation der Unzuverlässigkeit mit hoher Wahrscheinlichkeit aus.
Der zweite Algorithmus ist komplexer, läuft aber in m · nO(log n·log log(1/δ)) Zeit und gibt eine (1 ± ε, δ)-Approximation aus, also eine Approximation mit einem zusätzlichen exponentiell kleinen Additivfehler δ.
Der Schlüssel zu beiden Algorithmen ist es, die Unzuverlässigkeit in universell kleine Hypergraphen (mit Kantenrängen ≤ n/2) und existenziell große Hypergraphen (mit Kantenrängen > n/2) zu unterteilen. Für universell kleine Hypergraphen wird eine rekursive Zufallskontraktionsmethode verwendet, während für existenziell große Hypergraphen eine Enumeration der großen Kanten erfolgt.
Stats
Der Wert eines minimalen Schnitts im Hypergraphen G ist λG.
Die Unzuverlässigkeit des Hypergraphen G bei Ausfallwahrscheinlichkeit p ist uG(p).
Es gilt pλG ≤ uG(p) ≤ n2pλG.
Citations
"Für Graphen wurde das Unzuverlässigkeitsproblem über viele Jahrzehnte hinweg untersucht, und es sind mehrere vollständige polynomielle Zeitapproximationsverfahren bekannt, beginnend mit der Arbeit von Karger (STOC 1995). Im Gegensatz dazu war vor dieser Arbeit kein nichttrivialer Ansatz für Hypergraphen (beliebiger Ordnung) bekannt."
"Hypergraphen haben in den letzten Jahren auch als Modellierungswerkzeug für reale Netzwerke an Bedeutung gewonnen. Während Graphen traditionell verwendet werden, um Netzwerke mit Punkt-zu-Punkt-Verbindungen zu modellieren, werden komplexere 'höherrangige' Interaktionen in modernen Netzwerken besser durch Hypergraphen erfasst."