Konstruktion unendlicher Familien symmetrischer Assoziationsschemen aus nicht-schwach regulären gekrümmten Funktionen

Concepts de base

Durch Verwendung nicht-schwach regulärer gekrümmter Funktionen konstruieren wir unendliche Familien symmetrischer Assoziationsschemen der Klassen 2p, (2p+1) und 3p+1/2 für jede ungerade Primzahl p. Durch Fusion dieser Assoziationsschemen erhalten wir auch t-Klassen symmetrische Assoziationsschemen, wobei t = 4, 5, 6, 7.

Résumé

Der Artikel befasst sich mit der Konstruktion von Assoziationsschemen unter Verwendung nicht-schwach regulärer gekrümmter Funktionen.

Zunächst werden einige Grundlagen zu gekrümmten Funktionen und Assoziationsschemen eingeführt. Dann werden folgende Ergebnisse präsentiert:

1. Unter Verwendung nicht-schwach regulärer gekrümmter Funktionen, die der Bedingung 1 genügen, konstruieren wir unendliche Familien symmetrischer Assoziationsschemen der Klassen 2p, (2p+1) und 3p+1/2 für jede ungerade Primzahl p.

2. Durch Fusion dieser Assoziationsschemen erhalten wir auch t-Klassen symmetrische Assoziationsschemen, wobei t = 4, 5, 6, 7.

3. Wir geben die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür an, dass die Partitionen P, D, T, U und V symmetrische Assoziationsschemen induzieren.

Die Konstruktionen nutzen spezielle Eigenschaften der nicht-schwach regulären gekrümmten Funktionen, insbesondere Exponentialsummen und Wertverteilungen. Die erhaltenen Assoziationsschemen haben vielfältige Anwendungen in der Codierungstheorie, Graphentheorie und Entwurfstheorie.

Stats

Für jedes α ∈ Fn_p und i ∈ F_p gilt:
Wenn n gerade ist:
χ_α(N_i(f)) = ε_α p^(n/2 - 1) K(i, f^(α)) + p^(n-1) δ_0(α)
Wenn n ungerade ist:
χ_α(N_i(f)) = ε_α √p^ p^(n-3)/2 S(i, f^*(α)) + p^(n-1) δ_0(α)

Citations

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Idées clés tirées de

Association schemes arising from non-weakly regular bent functions

by Yadi Wei,Jia... à arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.05251.pdf

Questions plus approfondies

Wie lassen sich die konstruierten Assoziationsschemen in der Codierungstheorie, Graphentheorie oder Entwurfstheorie anwenden

Die konstruierten Assoziationsschemen können in der Codierungstheorie verwendet werden, um Fehlerkorrekturcodes zu entwickeln, die in der Datenübertragung und -speicherung eingesetzt werden. In der Graphentheorie können sie zur Analyse von Graphenstrukturen und -eigenschaften verwendet werden, was in verschiedenen Anwendungen wie sozialen Netzwerken und Routenplanungssystemen relevant ist. In der Entwurfstheorie können die Assoziationsschemen bei der Konstruktion effizienter Designs für verschiedene Anwendungen wie Kryptographie und Kommunikationssysteme hilfreich sein.

Welche zusätzlichen Eigenschaften der nicht-schwach regulären gekrümmten Funktionen könnten für weitere Konstruktionen von Assoziationsschemen relevant sein

Zusätzliche Eigenschaften der nicht-schwach regulären gekrümmten Funktionen, die für weitere Konstruktionen von Assoziationsschemen relevant sein könnten, sind beispielsweise deren Dualitätseigenschaften und die Struktur ihrer Walsh-Transformationen. Die Untersuchung der Wechselwirkungen zwischen den nicht-schwach regulären gekrümmten Funktionen und deren Dualen könnte neue Einblicke in die Konstruktion von Assoziationsschemen liefern. Darüber hinaus könnten spezifische algebraische Eigenschaften dieser Funktionen genutzt werden, um die Symmetrie und Regularität der resultierenden Assoziationsschemen zu optimieren.

Gibt es Möglichkeiten, die Konstruktionen auf andere Klassen von Funktionen zu verallgemeinern, die nicht notwendigerweise gekrümmt sind

Es gibt Möglichkeiten, die Konstruktionen auf andere Klassen von Funktionen zu verallgemeinern, die nicht notwendigerweise gekrümmt sind. Zum Beispiel könnten ähnliche Konstruktionsmethoden auf andere Arten von nichtlinearen Funktionen angewendet werden, die in verschiedenen mathematischen Strukturen vorkommen. Durch die Anpassung der Konstruktionsprinzipien und -techniken könnten Assoziationsschemen aus verschiedenen Arten von Funktionen abgeleitet werden, was zu einer breiteren Anwendbarkeit und Vielseitigkeit in verschiedenen mathematischen Disziplinen führen könnte.