Effiziente Lösung dynamischer Optimierungsprobleme durch flexible Diskretisierung und enge Polynombegrenzungen

Concepts de base

Eine Methode zur numerischen Lösung dynamischer Optimierungsprobleme, die eine flexible Diskretisierung verwendet, um enge Polynombegrenzungen zu erreichen und so die Konservativität der Bernstein-Beschränkungen zu eliminieren.

Résumé

Der Artikel präsentiert eine Methode zur numerischen Lösung dynamischer Optimierungsprobleme (DOPs), bei der eine flexible Diskretisierung verwendet wird, um enge Polynombegrenzungen zu erreichen.

Polynome werden häufig verwendet, um die Trajektorien von Zuständen und/oder Eingängen darzustellen. Es wurde gezeigt, dass ein Polynom durch seine Koeffizienten in der Bernstein-Basis begrenzt werden kann. Die von den Bernstein-Koeffizienten gelieferten Grenzen sind jedoch im Allgemeinen nicht eng.

Die vorgeschlagene Methode verwendet eine flexible Diskretisierung, um enge Polynombegrenzungen zu erreichen und so die Konservativität der Bernstein-Beschränkungen zu eliminieren. Dies führt zu einer geringeren Kostenfunktion im Vergleich zu nicht-flexiblen Diskretisierungen.

Es wird ein theoretisches Ergebnis präsentiert, das zeigt, dass monotone Polynome in eine endliche Anzahl von Teilintervallen unterteilt werden können, in denen das Polynom jedes Teilintervalls eng begrenzt werden kann.

Die Methode wird auf ein begrenztes Cart-Pendel-Aufschwingungs-Optimalsteuerungsproblem angewendet. Die flexible Diskretisierung beseitigt die Konservativität der Bernstein-Grenzen und ermöglicht eine geringere Kostenfunktion im Vergleich zu nicht-flexiblen Diskretisierungen.

Stats

Die Kostenfunktion ist definiert als:
Z tf
t0
u∗(t)2dt.
Die Verletzung der Ungleichheitsbeschränkungen ist definiert als:
∥v(·; u∗, uℓ, uu)∥2 +
4
X
k=1
∥v(·; x∗
k, xℓ,k, xu,k)∥2.
Der Dynamikfehler ist definiert als:
1
4
4
X
k=1
∥rk( ˙x∗(·), x∗(·), u∗(·), ·)∥2.

Citations

"Polynome können die meisten stetigen Funktionen mit beliebig hoher Genauigkeit und scharfen Konvergenzraten approximieren, daher werden Polynome häufig verwendet, um die Trajektorien von Zuständen und/oder Eingängen darzustellen."
"Die Konservativität der Bernstein-Grenzen wird durch eine einfache Approximationsaufgabe illustriert."
"Für den Fall monotoner Polynome zeigt das folgende Ergebnis, dass sie in eine endliche Anzahl von eng begrenzten Polynomen unterteilt werden können."

Idées clés tirées de

Tightly Bounded Polynomials via Flexible Discretizations for Dynamic Optimization Problems

by Eduardo M. G... à arxiv.org 03-13-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.07707.pdf

Questions plus approfondies

Wie könnte die vorgeschlagene Methode auf Probleme mit nichtlinearen Dynamiken erweitert werden, ohne die Konvexität zu verlieren

Die Erweiterung der vorgeschlagenen Methode auf Probleme mit nichtlinearen Dynamiken, ohne die Konvexität zu verlieren, könnte durch die Verwendung von Techniken wie der Relaxation von nichtlinearen Bedingungen oder der Verwendung von konvexen Hüllen für nichtlineare Ausdrücke erreicht werden. Durch die Einführung von zusätzlichen Variablen und Constraints könnte die nichtlineare Dynamik in Teilprobleme aufgeteilt werden, die konvex gelöst werden können. Darüber hinaus könnten Techniken wie die Verwendung von konvexen Optimierungsalgorithmen oder die Anpassung von nichtlinearen Modellen an konvexe Formen die Konvexität bewahren, während nichtlineare Dynamiken berücksichtigt werden.

Welche anderen Anwendungsgebiete außerhalb der dynamischen Optimierung könnten von der flexiblen Diskretisierung und engen Polynombegrenzungen profitieren

Die flexible Diskretisierung und enge Polynombegrenzungen könnten in verschiedenen Anwendungsgebieten außerhalb der dynamischen Optimierung von Vorteil sein. Beispielsweise könnten sie in der Finanzmodellierung eingesetzt werden, um komplexe Finanzprobleme mit strengen Einschränkungen zu lösen. In der Robotik könnten sie bei der Pfadplanung für Roboter eingesetzt werden, um sicherzustellen, dass die Bewegungen innerhalb bestimmter Grenzen bleiben. Darüber hinaus könnten sie in der Biomedizin verwendet werden, um optimale Behandlungspläne zu entwickeln, die den spezifischen Anforderungen von Patienten entsprechen.

Wie könnte die Wahl der Flexibilitätsparameter optimiert werden, um einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand zu finden

Die Wahl der Flexibilitätsparameter zur Optimierung eines Kompromisses zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand könnte durch eine systematische Untersuchung des Einflusses verschiedener Flexibilitätsgrade auf die Lösungsqualität erfolgen. Dies könnte durch die Durchführung von Sensitivitätsanalysen und Experimenten mit verschiedenen Flexibilitätsparametern erreicht werden. Darüber hinaus könnten Optimierungsalgorithmen verwendet werden, um die Flexibilitätsparameter automatisch anzupassen und so die bestmögliche Lösung zu finden. Durch die Berücksichtigung von Trade-offs zwischen Genauigkeit, Rechenaufwand und Lösungsqualität könnte eine optimale Wahl der Flexibilitätsparameter erzielt werden.