正規化された線形逆問題に対する一段階および多段階ワンショット法の収束解析
本論文では、正規化された線形逆問題に対する一段階および多段階ワンショット法の収束性を分析する。内部反復が不完全な場合でも、十分小さな降下ステップサイズを選択すれば、これらのワンショット法が収束することを示す。
多変量関数の構造条件に基づくサンプリング回復
本論文では、構造条件に基づく関数クラスに対するサンプリング回復の最適性を研究する。特に、指数関数的クロスに関するインデックスを持つ係数に条件を課した関数クラスに焦点を当てる。
多相 Mullins-Sekerka 問題における三重接点を含む構造保存有限要素法
本論文では、多相 Mullins-Sekerka 流れの鋭い界面定式化に対して、パラメトリック有限要素法を用いた完全離散化スキームを提案する。このスキームは、体積保存性と非条件的安定性を備えており、さらに離散曲線上の頂点の自然な接線速度により、実際の計算では再メッシュが不要となる。
分数ブラウン運動で駆動される準線形SDEの数値近似 - WIS積分を用いて H∈(0,1) の全範囲をカバー
本論文では、H∈(0,1)の全範囲に対して、Wick-Itô-Skorohod (WIS)積分を用いて準線形SDEの数値近似手法を提案し、強収束性を証明する。
準周期楕円方程式の解法と準周期均質化への応用
本研究では、準周期係数を持つ楕円方程式を効率的に解くための射影法を提案する。さらに、メモリ使用量を大幅に削減し、収束速度を向上させるための圧縮ストレージ手法とダイアゴナル前処理付き共役勾配法を開発する。これらの手法を組み合わせることで、準周期問題に対する高精度かつ効率的な数値解法を実現する。
数値解析 数学
本研究では、以下の主要な成果を示す: 新しい双対ペアリング(DP)および分散関係保存(DRP) 和分部有限差分演算子を用いて、線形/非線形浅水方程式(SWE)のベクトル不変形式を解くための高次精度かつエネルギー/エントロピー安定な有限差分法を開発した。 1次元の非周期境界条件に対して新しい適切な境界条件を導出し、非線形問題に対するエントロピー安定性を示した。 高次精度の非線形ハイパー粘性演算子を設計し、ショックや不連続性からの振動を抑制し、有害な高周波格子スケールのエラーを排除した。 提案手法は大気や地衡流問題に典型的な亜臨界流の計算に適していることを示した。 理論解析と共に、製造ソリューション法および標準的なテストケース(ダムブレーク、静止湖、2次元回転合流渦、バロトロピック剪断不安定性)による数値検証を行った。
多次元ストカスティック熱方程式の有限体積スキームの収束率
本研究では、ストカスティック熱方程式の有限体積スキームの収束率を導出する。時間離散化にはセミ陰的オイラー法を、空間離散化には二点流束近似法を用いた。初期値と拡散項の正則性の下で、変分解と有限体積スキームの解の L2ノルムの誤差が O(τ1/2 + h + hτ−1/2)の収束率を持つことを示した。
ステーフェル多様体上の測地線を計算するための近似フレシェ微分を用いた単一シューティング法
本論文では、境界値問題を解くための古典的な数値アルゴリズムであるシューティング法を用いて、ステーフェル多様体St(n, p)上の測地線距離を計算する方法を提案する。提案手法の主な特徴は、シューティング法に関与するフレシェ微分の近似式を提供することである。数値実験により、アルゴリズムの精度と性能を実証し、同じ問題を解決する既存の最先端アルゴリズムと比較して、提案手法が競争力があり、多くの場合で他のアルゴリズムを上回ることを示す。
高効率なNURBS ベースの等幾何解析を用いた非線形拡散反応方程式の結合解法（移流あり/なし）
本研究では、NURBS ベースの等幾何解析と2次オーダーのStrang オペレータ分割法を組み合わせた手法を提案し、複雑な幾何形状を持つ非線形拡散反応方程式の効率的な解法を実現した。移流項はセミラグランジュ法で扱い、拡散項と反応項はそれぞれ適切な手法で解いている。提案手法は高精度かつ効率的で、複雑な幾何形状上の非線形パターン形成問題に適用可能である。
高周波フラクショナルシュレーディンガー方程式の凍結ガウス近似
本論文では、フラクショナルシュレーディンガー方程式の高周波領域における解を高効率的に計算するための凍結ガウス近似(FGA)を導出し、その収束性を示した。特に、運動エネルギー項の特異性に起因する問題に対処するため、正則化パラメータを導入し、収束解析を行った。
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