這篇研究論文探討了 Gelfand-Kazhdan 定理在範疇表示論中的類比。Gelfand-Kazhdan 定理指出,局部域上 GLn(K) 的任何尖點不可約表示限制在迷向子群 P 上,都與 P 的標準不可約表示同構。
作者推測,類似的陳述應該適用於範疇表示。為了支持這個猜想,論文證明了對於 PGL2(K) 的不可約尖點範疇表示的特定例子,該類比成立。
經典 Gelfand-Kazhdan 定理的回顧: 論文首先回顧了經典的 Gelfand-Kazhdan 定理及其證明。作者詳細介紹了定理中使用的重要概念,例如尖點表示、迷向子群和 Whittaker 泛函。
範疇類比的猜想: 作者提出了 Gelfand-Kazhdan 定理的範疇類比的猜想。這個猜想指出,對於 G 的任何不可約尖點範疇表示 C,都存在一個從 C 到 D(P)/(U,θ) 的泛函,並且這個泛函是一個範疇等價。
PGL2(K) 例子的證明: 論文接著專注於 PGL2(K) 的不可約尖點範疇表示的特定例子。作者利用幾何方法,證明了在這個例子中,範疇類比的猜想成立。
未來研究方向: 作者最後討論了未來研究的方向,包括將證明推廣到 GL2(K) 的所有不可約尖點範疇表示,以及探索該類比在局部 Langlands 猜想中的應用。
這篇論文為 Gelfand-Kazhdan 定理的範疇類比提供了初步的證據。作者證明了該類比對於 PGL2(K) 的特定例子成立,並為未來研究指明了方向。
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by Alexander Po... ב- arxiv.org 10-04-2024
https://arxiv.org/pdf/2410.02139.pdfשאלות מעמיקות