מושגי ליבה
Anhebungen von reversiblen Prozessen können die Relaxationszeiten um höchstens die Quadratwurzel reduzieren.
תקציר
Das Paper stellt ein neues Konzept von Anhebungen reversibler Diffusionsprozesse vor und zeigt, dass viele nicht umkehrbare Prozesse Anhebungen einfacher reversibler Diffusionen sind. Es wird eine Definition von nicht-asymptotischen Relaxationszeiten eingeführt und gezeigt, dass diese durch Anhebungen untere Schranken haben. Es wird auch gezeigt, wie quantitative Hypocoercivity basierend auf Raum-Zeit-Poincaré-Ungleichheiten angewendet werden kann, um optimale Anhebungen zu finden.
1. Einleitung
- Interesse an beschleunigter Konvergenz zu Stationarität von Markov-Prozessen aufgrund von Nicht-Umkehrbarkeit.
- Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden auf Basis nicht-umkehrbarer Prozesse in Anwendungen beliebt.
- Systematisches Verständnis dieser Phänomene fehlt noch.
2. Lifts reversibler Diffusionen
- Definition eines Lifts von reversiblen Diffusionsprozessen.
- Beispiele von Lifts nicht-umkehrbarer Markov-Prozesse.
3. Relaxationszeiten nicht-umkehrbarer Prozesse
- Einführung des Konzepts der nicht-asymptotischen Relaxationszeiten.
- Untere Schranken für Relaxationszeiten durch den singulären Wertegap des Generators.
4. Untere Schranken für Relaxationszeiten von Anhebungen
- Theorem zeigt, dass Relaxationszeiten durch Anhebungen um höchstens die Quadratwurzel reduziert werden können.
5. Obere Schranken für Relaxationszeiten von Anhebungen
- Verwendung von Raum-Zeit-Poincaré-Ungleichheiten für quantitative obere Schranken der Relaxationszeiten.
סטטיסטיקה
Eine Markov-Kette in diskreter oder kontinuierlicher Zeit mit Zustandsraum ˆS, Übergangskern ˆp und Invariantenmaß ˆµ ist ein Lift erster Ordnung eines reversiblen Markov-Prozesses.
Der Übergangsspezialist ( ˆPt)t≥0 ist T-verzögert exponentiell kontraktiv mit Rate ν oder exponentiell kontraktiv im 2T-Durchschnitt mit Rate ν.
Das kritische Langevin-Dynamik für das Potenzial Um(x) = mx2/2 mit Invariantenmaß ˆµm = N(0, m−1)⊗N(0, 1) ist eine Anhebung zweiter Ordnung des entsprechenden gedämpften Langevin-Prozesses.
ציטוטים
"Ein Lift von reversiblen Prozessen kann die Relaxationszeiten um höchstens die Quadratwurzel reduzieren."