מושגי ליבה
Jede Funktion mit beschränkten Eingaben und Ausgaben kann in eine lineare Komponente und eine norm-erhaltende, injektive nichtlineare Komponente zerlegt werden. Diese Zerlegung ermöglicht es, Werkzeuge zur Analyse linearer Funktionen auf eine große Klasse nichtlinearer Funktionen anzuwenden.
תקציר
Der Artikel präsentiert eine neuartige Zerlegung für beliebige Funktionen mit beschränkten Eingaben und Ausgaben. Die Zerlegung besteht aus zwei Teilen: einem linearen Teil und einem norm-erhaltenden, injektiven nichtlinearen Teil.
Der Hauptbeitrag ist, dass diese Zerlegung eine Verallgemeinerung der Singulärwertzerlegung (SVD) für lineare Funktionen darstellt. Die Zerlegung ermöglicht es, Werkzeuge zur Analyse linearer Funktionen, wie die SVD, auf eine große Klasse nichtlinearer Funktionen anzuwenden.
Der Beweis zeigt, dass es immer eine solche Zerlegung gibt und liefert eine konkrete Konstruktion dafür. Dabei wird eine "Hebung" (lifting) der Eingaben in einen höherdimensionalen Raum verwendet, die die unitäre Eigenschaft der rechten Matrix V* in der traditionellen SVD aufweicht.
Die Zerlegung bietet mehrere Vorteile:
Sie liefert eine obere Schranke für die 2-induzierte Norm der Funktion.
Sie ermöglicht die Berechnung von Verallgemeinerungen der Konzepte von Zeilenraum und Nullraum für nichtlineare Funktionen.
Für lineare Funktionale stellt sie eine Verallgemeinerung des Riesz-Darstellungssatzes dar.
Abschließend werden numerische Beispiele präsentiert, die die Konstruktion der Zerlegung veranschaulichen.
סטטיסטיקה
Die 2-induzierte Norm der Funktion f ist durch den maximalen Singulärwert σ1 der Matrix Σ beschränkt:
∥f∥2−2∥x∥2 < ∥x∥2σ1
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