Alapfogalmak
本文回顧並探討了機器學習方法在計算卡拉比-丘度量(特別是里奇平坦度量)方面的優缺點,並提出了一種基於格拉斯曼流形梯度下降的新方法,以識別用於計算度量的有效截面子空間,並結合唐納森算法和h矩陣學習來逼近里奇平坦度量。
1. 引言
卡拉比猜想(1954 年)提出,緊緻卡勒流形的里奇曲率可以任意指定。
丘成桐在 1976 年證明了卡拉比猜想,並因此獲得了菲爾茲獎。
里奇平坦的緊緻卡勒流形被稱為卡拉比-丘 (CY) 流形。
CY 流形在弦論中具有重要意義,因為它們可以作為額外維度的緊緻化空間。
計算 CY 流形的里奇平坦度量對於從弦論中提取物理量至關重要。
2. 現有方法
唐納森算法(20 世紀 80 年代)是一種基於將 CY 流形嵌入射影空間並使用全純線叢截面來逼近里奇平坦度量的方法。
能量泛函最小化方法(21 世紀 00 年代)通過最小化與里奇曲率相關的能量泛函來逼近里奇平坦度量。
機器學習方法(近年來)利用神經網絡來逼近 CY 流形的度量或勢函數。
3. 機器學習方法的優缺點
優點:
計算速度快,精度高。
可以輕鬆計算所得度量的偏導數。
不依賴於 CY 流形的離散對稱性。
缺點:
難以保證所得度量的正定性。
難以同時滿足所有幾何約束條件。
誤差累積問題。
4. 本文提出的方法
使用格拉斯曼流形上的梯度下降來識別用於計算度量的有效截面子空間。
將這種方法與唐納森算法和 h 矩陣學習相結合。
5. 結果
在 Dwork 三次曲面上測試了所提出的算法。
觀察到隨著模參數的增加,出現了非平凡的局部最小值。
6. 結論
本文提出了一種基於格拉斯曼學習和唐納森算法的計算 CY 流形里奇平坦度量的新方法。
未來的工作包括將該方法應用於其他 CY 流形,並探索更有效的優化算法。
Statisztikák
卡拉比猜想於 1954 年提出。
丘成桐在 1976 年證明了卡拉比猜想。
對於一個嵌入 P4 的 CY 三次曲面,其參數空間有 101 個分量。
唐納森算法的計算複雜度為 O(k4n)。