Alapfogalmak
T-양정 정의 텐서에 대한 기하학적 평균을 정의하고, 이에 대한 다양한 성질을 밝혔다. 또한 이 기하학적 평균과 관련된 리만 다양체의 성질을 규명하였다.
Kivonat
이 논문에서는 행렬의 기하학적 평균을 3차 텐서로 일반화하였다. 구체적으로 다음과 같은 내용을 다루었다:
- T-양정 정의 텐서의 기하학적 평균을 정의하고, 이것이 "평균"이 가져야 할 성질들(항등성, 교환성 등)을 만족함을 보였다.
- T-양정 정의 텐서에 대한 L뢰너 순서를 정의하고, 이에 대한 여러 가지 부등식을 증명하였다.
- T-양정 정의 텐서 공간에 리만 계량을 도입하고, 이 리만 다양체의 성질을 규명하였다. 특히 두 T-양정 정의 텐서 사이의 기하학적 평균이 이 리만 다양체 상의 측지선의 중점임을 보였다. 또한 이 리만 다양체가 완비이고 음의 곡률을 가짐을 증명하였다.
Statisztikák
기하학적 평균 A#B는 다음과 같이 표현된다:
A#B = A^(1/2) * (A^(-1/2) * B * A^(-1/2))^(1/2) * A^(1/2)
기하학적 평균 A#B는 다음 대수 리카티 텐서 방정식의 유일한 T-양정 정의 해이다:
X * A^(-1) * X = B
Idézetek
"기하학적 평균은 "평균"이 가져야 할 성질들(항등성, 교환성 등)을 만족한다."
"기하학적 평균 A#B는 다음 대수 리카티 텐서 방정식의 유일한 T-양정 정의 해이다: X * A^(-1) * X = B"
"T-양정 정의 텐서 공간 (H^(n×n×p)_++, g)은 완비이고 음의 곡률을 가지는 리만 다양체이다."