Optimale Regenbogensättigungszahlen für Zyklen

Konsep Inti

Die Autoren bestimmen asymptotisch die optimale Regenbogensättigungszahl für C4 und geben Konstruktionen, die obere Schranken für C5 und C6 etablieren.

Abstrak

Der Artikel befasst sich mit der Untersuchung von Regenbogensättigungszahlen, die das Minimum der Anzahl von Kanten in einem regenbogenfarbigen, gesättigten Graphen bezüglich eines festen Graphen F beschreiben.
Die Hauptergebnisse sind:

Für den Zyklus C4 wird die asymptotische Regenbogensättigungszahl sat*(n, C4) bestimmt. Es wird gezeigt, dass sat*(n, C4) ≤ 11/6 n + O(1) und sat*(n, C4) > (11/6 - ε)n für jedes 11/45 > ε > 0 und hinreichend großes n.

Für den Zyklus C5 wird gezeigt, dass sat*(n, C5) ≤ ⌊5n/2⌋ - 4 für n ≥ 9.

Für den Zyklus C6 wird gezeigt, dass sat*(n, C6) ≤ 7/3 n + O(1).

Diese Ergebnisse tragen zum Verständnis der Regenbogensättigungszahlen von Zyklen bei und zeigen, dass sat*(n, F) sich teilweise deutlich von der klassischen Sättigungszahl sat(n, F) unterscheiden kann.

Statistik

Für n ≥ 7 gilt sat*(n, C4) ≤ 11/6 n + O(1).
Für n ≥ 9 gilt sat*(n, C5) ≤ ⌊5n/2⌋ - 4.
Für n ≥ 7 gilt sat*(n, C6) ≤ 7/3 n + O(1).

Kutipan

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Wawasan Utama Disaring Dari

Proper Rainbow Saturation Numbers for Cycles

by Anas... pada arxiv.org 04-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15602.pdf

Pertanyaan yang Lebih Dalam

Wie verhalten sich die Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F) für andere Graphen F, insbesondere für Graphen mit mehr als 6 Ecken?

Die Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F) für andere Graphen F, insbesondere für Graphen mit mehr als 6 Ecken, sind im Allgemeinen weniger gut verstanden als für kleinere Graphen wie z.B. Zyklen. Für Graphen mit mehr als 6 Ecken gibt es weniger spezifische Ergebnisse oder asymptotische Schranken für sat*(n, F). Die Komplexität und Vielfalt der möglichen Strukturen in größeren Graphen machen es schwieriger, allgemeine Aussagen über ihre Regenbogensättigungszahlen zu treffen. Es erfordert oft spezifische Untersuchungen und Konstruktionen, um die Regenbogensättigungszahlen für solche Graphen zu bestimmen.

Gibt es Zusammenhänge zwischen den klassischen Sättigungszahlen sat(n, F) und den Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F)?

Es gibt eine interessante Beziehung zwischen den klassischen Sättigungszahlen sat(n, F) und den Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F). Im Allgemeinen gilt die Beziehung sat(n, F) ≤ sat*(n, F) für alle Graphen F. Dies liegt daran, dass die Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F) eine strengere Bedingung darstellen als die klassischen Sättigungszahlen sat(n, F). Wenn ein Graph G eine Regenbogensättigungszahl sat*(n, F) hat, bedeutet dies, dass G eine spezielle Eigenschaft erfüllt, die das Hinzufügen eines weiteren Rands unmöglich macht, während die klassische Sättigungszahl sat(n, F) nur angibt, wie viele Kanten ein Graph maximal haben kann, um F-frei zu bleiben. Daher kann die Regenbogensättigungszahl als eine verfeinerte Version der klassischen Sättigungszahl betrachtet werden.

Welche strukturellen Eigenschaften von Graphen beeinflussen die Differenz zwischen sat(n, F) und sat*(n, F)?

Die Differenz zwischen den klassischen Sättigungszahlen sat(n, F) und den Regenbogensättigungszahlen sat*(n, F) wird von verschiedenen strukturellen Eigenschaften von Graphen beeinflusst. Einige wichtige Faktoren sind:

Grad der Knoten: Graphen mit hohem Mindestgrad haben tendenziell größere Unterschiede zwischen sat(n, F) und sat*(n, F), da das Hinzufügen einer Kante zu einem Knoten mit hohem Grad wahrscheinlicher dazu führt, dass eine Regenbogenstruktur verletzt wird.

Vorhandensein spezifischer Untergraphen: Die Anwesenheit bestimmter Untergraphen in einem Graphen kann die Differenz zwischen sat(n, F) und sat*(n, F) beeinflussen. Wenn ein Graph viele Kopien eines bestimmten Untergraphen enthält, der schwierig zu regenbogenfrei zu färben ist, kann dies zu größeren Unterschieden führen.

Dominierende Mengen: Die Existenz von kleinen oder dichten dominanten Mengen im Graphen kann die Differenz zwischen den Sättigungszahlen beeinflussen. Wenn eine dominierende Menge entweder klein ist oder einen hohen durchschnittlichen Grad hat, kann dies zu größeren Unterschieden führen.

Durch die Analyse dieser strukturellen Eigenschaften können wir ein besseres Verständnis dafür entwickeln, warum die klassischen Sättigungszahlen und die Regenbogensättigungszahlen in bestimmten Graphenkonfigurationen variieren.