Konsep Inti
Es wird eine Konstruktion von reflektiven Unterkategorien in der Homotopietheorie präsentiert, deren Zugänglichkeit unabhängig von den ZFC-Axiomen ist. Diese Konstruktion kann in beliebigen ∞-Topos interpretiert werden und produziert auch Beispiele höherer Trunkierungsstufen, was neu ist selbst für den ∞-Topos der Räume.
Abstrak
Der Artikel behandelt die Konstruktion von reflektiven Unterkategorien in der Homotopietheorie, deren Zugänglichkeit unabhängig von den ZFC-Axiomen ist.
Zunächst werden Resultate über "kleine" Typen bewiesen, die von unabhängigem Interesse sind. Insbesondere wird gezeigt, dass ein Typ X genau dann klein ist, wenn er (n+1)-lokal klein ist und seine n-Trunkierung klein ist.
Das Hauptresultat besagt, dass für jede Familie f von (n-1)-zusammenhängenden Abbildungen die Unterkategorie der n-trunkierten f-lokalen Typen reflektiv ist. Dabei müssen weder der Indextyp I noch die Typen Ai und Bi in der betrachteten Universität U liegen. Dieses Resultat verallgemeinert den klassischen Satz von [CSS], dessen lokale Objekte immer 1-Typen sind, auf höhere Trunkierungsstufen.
Um dieses Hauptresultat zu beweisen, wird zunächst gezeigt, dass die Lokalisierung bezüglich der erweiterten Familie ¯f, die auch die Abbildung Sn+1 → 1 enthält, auf der Universität U reflektiv ist. Dafür wird die Proposition über kleine Typen benötigt.
Weiterhin wird gezeigt, dass die Familie ¯f ein orthogonales Faktorisierungssystem auf U erzeugt.
Als Anwendung wird ein alternativer Beweis für die Existenz von L'-Lokalisierungen gegeben.
Außerdem werden Resultate bewiesen, die Bedingungen dafür liefern, wann eine Lokalisierung bezüglich einer Familie durch eine Lokalisierung bezüglich einer einzelnen Abbildung präsentiert werden kann. Es wird gezeigt, dass das simpliziale Modell eine starke Form des Auswahlaxioms erfüllt, was impliziert, dass Mengen überdecken und das ausgeschlossene Dritte gilt.
Abschließend wird die Beziehung zu früheren Arbeiten, insbesondere [CSS], diskutiert.
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Kutipan
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