平面グラフにおける有界次数への除去距離

Core Concepts

平面グラフにおいて、与えられたグラフGと整数k、dに対して、Gの有界次数dへの除去距離がkを超えないかどうかを効率的に決定できるアルゴリズムが存在する。

Abstract

本論文では、グラフパラメータである「有界次数への除去距離」について研究している。この概念は、グラフ同型問題の複雑性研究で導入されたものである。

まず、グリッドマイナーを持つ大きな幅のグラフについて、以下の2つの場合を考える:

1. 十分多くの枝集合に次数が d+1以上の頂点が存在する場合、Gは Ck,dに属さないと結論できる。
2. 次数 d+1以上の頂点を含む枝集合が少ない場合、「無関係な頂点」を見つけることができる。これらの頂点を再帰的に削除することで、小さな幅のグラフに帰着できる。

小さな幅のグラフについては、Courcelle の定理を用いて効率的に判定できる。

以上の手法を組み合わせることで、K5マイナーを含まないグラフ(特に平面グラフ)において、有界次数への除去距離を効率的に計算できることを示した。

Stats

なし

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Elimination distance to bounded degree on planar graphs

by Alexander Li... at arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2007.02413.pdf

Deeper Inquiries

有界次数への除去距離の一般的な問題に対する効率的なアルゴリズムはどのように設計できるか

有界次数への除去距離の一般的な問題に対する効率的なアルゴリズムは、与えられたグラフが特定のクラスに属するかどうかを判定する際に、再帰的な削除を行うことで設計できます。具体的には、与えられたグラフがあるクラスに所属するために必要な再帰的な削除の回数を制限し、それを計算量のパラメータとして扱います。このようなアルゴリズムは、グラフの特性や構造を活用して、計算効率を向上させることができます。また、有界次数への除去距離の概念を利用して、特定のグラフクラスに属するかどうかを効率的に判定することが可能です。

有界次数への除去距離と他のグラフパラメータ(例えば、トリビアリティからの距離)との関係はどのようなものか

有界次数への除去距離と他のグラフパラメータ（例えば、トリビアリティからの距離）との関係は、グラフの複雑さや特性を異なる観点から評価することを可能にします。トリビアリティからの距離は、グラフが特定のクラスにどれだけ近いかを示すパラメータであり、有界次数への除去距離はその一種です。これらのパラメータを組み合わせることで、グラフのクラスへの所属や特性を包括的に評価することができます。また、これらのパラメータを比較することで、グラフの構造に関する洞察を深めることができます。

有界次数への除去距離の概念を、より一般的なグラフクラスの特徴付けに応用することはできないか

有界次数への除去距離の概念を、より一般的なグラフクラスの特徴付けに応用することは可能です。例えば、特定のグラフクラスに属するかどうかを判定するための条件を定義し、その条件を満たす場合にグラフがそのクラスに属すると判定することができます。このようなアプローチにより、有界次数への除去距離を用いて、さまざまなグラフクラスに対する特性や所属を効果的に分析することが可能となります。さらに、この概念を応用することで、グラフの構造や関連する問題に対する新たな洞察を得ることができます。