Core Concepts
与えられた高次元テンソルがテンソルリングまたはテンソルトレイン形式で表現されている場合、効率的なアルゴリズムを用いて、その基礎となるグラフ構造を正確に復元することができる。
Abstract
本論文では、高次元テンソルがテンソルリング(TR)またはテンソルトレイン(TT)形式で表現されている場合に、その基礎となるグラフ構造を効率的に復元するアルゴリズムを提案している。
まず、TR/TTの定義と問題設定を説明する。与えられたテンソルの基礎グラフ、つまり頂点の順序を表す置換を正確に復元することが目標である。
次に、TR/TTの基礎グラフ復元のためのアルゴリズムを提案する。主なアイデアは分割統治法で、4つ(TR)または3つ(TT)の指標の相対的な順序を判定することで、全体の順序を段階的に復元していく。具体的には、テンソルの matricization ランクの比較に基づいて、4つ/3つの指標の正しい順序を判定するアルゴリズムを設計する。
理論的には、ノイズのない場合に提案アルゴリズムが正確に復元できることを示し、さらにノイズに対する頑健性も証明する。数値実験によってもこれらの理論結果が確認されている。
Stats
テンソルの物理次元 ⃗n = (n1, n2, ..., nd) は十分に大きい。
テンソルの内部次元 ⃗r = (r1, r2, ..., rd) は比較的小さい。
具体的に、min1≤i≤d ni ≥ R2 > max1≤j≤d rj、かつ min1≤j≤d rj ≥ R が成り立つ。