Core Concepts
拡張体上のアルゲブラ幾何学符号の仮想射影を使用して、より少ない基底体の記号を使用して誤り訂正を行うことができる。
Abstract
本論文では、拡張体Fqlの上に定義されたアルゲブラ幾何学符号Cl(G, D)について研究している。これらの符号は、基底体Fqの上の点で評価されるが、Fql上の関数空間Ll(G)から構成される。
まず、Ll(G)の関数fを、Fq基底{h1, ..., hk}に関する各成分fs(x1, ..., xM)への「仮想射影」を定義する。これにより、fは{fs(x1, ..., xM) : s ∈[l]}によって完全に決まる。
次に、{P1, ..., Pn}をFq上の点とし、A1 ∪ ... ∪ Am = {P1, ..., Pn}なる分割を考える。各tに対して、Tt(f)を定義し、VPt(G, D) = {(Tt(f)(P1), ..., Tt(f)(Pn)) : f ∈Ll(G)}とする。VPt(G, D)は、Cl(G, D)の部分符号であり、ある divisor Gtに関する符号C(D, Gt)に含まれる。
この仮想射影の性質を利用して、Cl(G, D)の分数デコーディングアルゴリズムを提案する。まず、受信語wから{Tt(f)(Pi) : t ∈[m], i ∈[n']}を抽出する。これらの値から、Theoremにより、fを一意的に復元できる。この際、訂正可能なエラー数は、divisorGtの次数に依存する。
さらに、仮想射影を直交符号の集合として捉え直し、既存の直交符号のデコーディングアルゴリズムを適用することで、より多くのエラーを訂正できる可能性がある。
Stats
n - deg G - (l - m) max {deg(pt)∞: t ∈[m]}
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