Core Concepts
非線形磁気静力学の数値解法として、ペナルティ法は有効な手法である。ペナルティ法は混合有限要素法や Lagrange 乗数法と比べて数値的に扱いやすく、理論的にも収束性が保証される。
Abstract
本論文では、非線形磁気静力学の数値解法としてのペナルティ法の理論的な正当化を行っている。
まず、非線形磁気静力学の問題を変分問題として定式化し、その解の存在と一意性を示す。次に、ペナルティ法による近似解と正確解の誤差を定量的に評価する。具体的には、ペナルティ法による磁界 h と磁束密度 b の近似誤差が正則化パラメータ ε に比例して収束することを示す。
この理論解析では、ペナルティ法と Lagrange 乗数法、スカラー ポテンシャル法との密接な関係も明らかにされている。さらに、離散レベルでの議論も行われ、有限要素法による数値実験によって理論結果が検証されている。
Stats
∥hε −h∥H(curl) +∥bε −b∥H(div) ≤C′ε∥j∥L2
∥hε∥H(curl) ≤C∥j∥L2
Quotes
"The magnetostatic field distribution in a nonlinear medium amounts to the unique minimizer of the magnetic coenergy over all fields that can be generated by the same current."
"The penalty approach avoids the use of artificial potentials and Lagrange multipliers and leads to an unconstrained convex minimization problem involving a large parameter."