Core Concepts
時間依存偏微分方程式の解軌道を近似するために、非線形パラメータ化を逐次的に適合させる方法を提案する。この方法は最適化後離散化(OtD)または離散化後最適化(DtO)のスキームとして理解できる。これにより、理論的および数値的側面に関する新しい安定性と a posteriori 誤差解析の結果が得られ、特に OtD スキームに固有のタンジェント空間の崩壊現象に関する洞察が得られる。
Abstract
本論文では、時間依存偏微分方程式の解を非線形パラメータ化で近似する方法について議論している。
時間依存偏微分方程式を数値的に解くには、有限次元のパラメータ化を用いて解を近似する必要がある。
従来の線形パラメータ化では、高次元の問題や輸送支配的な問題に対して精度が低い場合がある。
そこで本論文では、時間に依存するパラメータを用いる非線形パラメータ化に着目する。
非線形パラメータ化を用いる方法には、全体的な時間トレーニングと逐次的な時間トレーニングがある。
逐次的時間トレーニング方法は、最適化後離散化(OtD)または離散化後最適化(DtO)のスキームとして理解できる。
OtD スキームは、最適化問題を定式化してから時間離散化を行う方法で、ディラック-フレンケル変分原理に基づいている。
DtO スキームは、時間離散化を行ってから最適化問題を解く方法で、より頑健だが計算コストが高い。
本論文では、OtD および DtO スキームの a posteriori 誤差解析と安定性を示し、特にOtDスキームのタンジェント空間の崩壊現象について議論する。
さらに、OtD スキームと DtO スキームの関係を明らかにし、OtD スキームが勾配流に適用できることを示す。
Stats
時間依存偏微分方程式の解u(t,x)のノルム ∥u(t,·)∥は、初期条件 ∥u(0,·)∥ と右辺関数 f(t,·,u(t,·)) のノルム ∥f(t,·,u(t,·))∥ に依存する。
非線形パラメータ化 ˆu(θ(t),·) の解 ∥ˆu(θ(t),·)∥ は、初期条件 ∥ˆu(θ(0),·)∥ と右辺関数 f(t,·,ˆu(θ(t),·)) のノルム ∥f(t,·,ˆu(θ(t),·))∥ に依存する。
Quotes
"時間依存偏微分方程式の解を非線形パラメータ化で近似する方法には、全体的な時間トレーニングと逐次的な時間トレーニングがある。"
"逐次的時間トレーニング方法は、最適化後離散化(OtD)または離散化後最適化(DtO)のスキームとして理解できる。"
"OtD スキームは、最適化問題を定式化してから時間離散化を行う方法で、ディラック-フレンケル変分原理に基づいている。"