Core Concepts
任意の固定された次数dに対して、すべてのブール関数fは、その次数dの影響力が少なくとも1/10 * W⩾d(f) * (log n/n)^dであるような変数集合を持つ。
Abstract
本論文では、ブール関数の変数集合の影響力に関するKKLの定理の一般化を研究しています。
まず、変数集合iの影響力Infi(f)を定義します。これは、関数fの全ての変数集合kについて、kがiを含む時の係数の2乗和で表されます。つまり、iの全ての変数が影響力を持っているかどうかを測る指標です。
次に、W⩾d(f)を定義します。これは、関数fのフーリエ係数のうち、変数集合の大きさが d以上のものの2乗和です。
主な結果は以下の通りです:
任意の固定された次数dに対して、すべてのブール関数fは、その次数dの影響力が少なくとも1/10 * W⩾d(f) * (log n/n)^dであるような変数集合を持つ。これは、d=1の場合がKKLの定理に対応します。
次数dの影響力が全て十分小さいと仮定すると、関数fは次数dの多項式に近似できる。これは、Kindler-Safraの定理の一般化になっています。
さらに、本論文では、上記の結果の最適性を示す例として、d-ハイパートライブ関数を構成しています。この関数族は、次数dの影響力が最適な order(log n/n)^dであることを示しています。
Stats
任意の固定された次数dに対して、すべてのブール関数fは、その次数dの影響力が少なくとも1/10 * W⩾d(f) * (log n/n)^dであるような変数集合を持つ。
次数dの影響力が全て十分小さいと仮定すると、関数fは次数dの多項式に近似できる。
Quotes
"For every fixed d, every Boolean function f on n variables admits a d-set of influence at least 1/10 * W⩾d(f) * (log n/n)^d, which is a direct generalisation of the Kahn–Kalai–Linial theorem."
"If f : {-1, 1}^n -> {-1, 1} satisfies Infi(f) ≤ α * (log n/n)^(d+1) for some α ∈ (0, C3) and all i ⊆ [n] of size d + 1, then there exists g : {-1, 1}^n -> {-1, 1} of degree d such that |f^(j) - g^(j)| ≤ C4 * α * (log n/n)^(|j|) for every j ⊆ [n] of size at most d."