ロレンツ空間の有限次元埋め込みのエントロピー数

Core Concepts

ロレンツ空間の自然な埋め込みのエントロピー数の漸近挙動を完全に特徴付けた。

Abstract

本論文では、ロレンツ空間の自然な埋め込みのエントロピー数の漸近挙動を完全に特徴付けた。
主な結果は以下の通り:

0 < p ≠ q < ∞の場合、ロレンツ空間の埋め込みのエントロピー数は、対応するℓp空間の埋め込みのエントロピー数と同じ漸近挙動を示す。

p = ∞, q < ∞の場合、エントロピー数は2^(-k/n)n^(1/q)(log n)^(-1/u)のオーダーで減少する。

p < ∞, q = ∞の場合、エントロピー数の漸近挙動は複雑で、k ≤ log nのときは定数、log n ≤ k ≤ nのときはℓ(k, n)^(-1/p)log(ℓ(k, n))^(1/v)、k ≥ nのときは2^(-k/n)n^(-1/p)(log n)^(1/v)のオーダーとなる。ここで、ℓ(k, n) = k/log(n/k+1)。

p = q < ∞の場合、u ≤ vのときエントロピー数は2^(-k/n)のオーダー、u > vのときは log(n/k+1)^(1/v-1/u)のオーダーで減少する。

p = q = ∞の場合、u ≥ vのときエントロピー数は2^(-k/n)(log n)^(1/v-1/u)のオーダー、u < vのときは k ≤ log nで定数、log n ≤ k ≤ nでlog(ℓ(k, n))^(1/v-1/u)、k ≥ nで2^(-k/n)(log n)^(1/v-1/u)のオーダーとなる。

これらの結果は、ロレンツ空間の埋め込みのエントロピー数の漸近挙動を完全に特徴付けるものである。

Stats

ロレンツ空間ℓ^n_p,uのノルムは以下のように評価される:

p ≠ q < ∞の場合: ∥id: ℓ^n_p,u → ℓ^n_q,v∥ ≍ n^(1/q-1/p)+
q < p = ∞の場合: ∥id: ℓ^n_∞,u → ℓ^n_q,v∥ ≍ n^(1/q)(log n)^(-1/u)
p < q = ∞の場合: ∥id: ℓ^n_p,u → ℓ^n_∞,v∥ ≍ 1
p = q の場合:

u ≤ v のとき: ∥id: ℓ^n_p,u → ℓ^n_p,v∥ ≍ (log n)^(1/v-1/u)+
u > v のとき: ∥id: ℓ^n_p,u → ℓ^n_p,v∥ ≍ (log n)^(1/v-1/u)

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Entropy numbers of finite-dimensional Lorentz space embeddings

by Josc... at arxiv.org 04-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.06058.pdf

Deeper Inquiries

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