量子相対エントロピーと重心レーニ発散の幾何学的な定義

Core Concepts

量子相対エントロピーと多変量量子レーニ発散を系統的に定義する新しい方法を提案する。特に、既知の量子相対エントロピーから単一のパラメータ付き族を構成し、それから重心レーニ発散を定義する。これらの量子情報量は単調性や加法性などの良好な性質を持つ。

Abstract

本論文では、量子相対エントロピーと多変量量子レーニ発散を系統的に定義する新しい方法を提案している。
まず、古典的相対エントロピーの量子拡張である量子相対エントロピーについて考察する。これまでは、Umegaki相対エントロピーとBelavkin-Staszewski相対エントロピーの2つしか知られていなかったが、ここでは、Kubo-Ando加重幾何平均を用いて、既知の量子相対エントロピーから新しい単一パラメータ付き族を構成する方法を示す。この新しい量子相対エントロピー族は、Umegaki相対エントロピーとBelavkin-Staszewski相対エントロピーの間を補間するものである。
次に、任意の有限集合の量子相対エントロピーと重みから、対応する多変量量子レーニ発散を定義する一般的な方法を提案する。この定義は、古典的な変分公式の一般化に基づいている。得られた量子レーニ発散は、生成する量子相対エントロピーの性質を継承する。特に、単調な量子相対エントロピーは、重みが確率分布のときに単調な量子レーニ発散を定義する。
さらに、2変量の場合、この重心レーニ発散は、log-Euclid型レーニ発散と最大レーニ発散の間に位置づけられることを示す。つまり、これまで研究されてきた量子レーニ発散とは異なる新しい発散となる。

Stats

量子相対エントロピーは、Umegaki相対エントロピーとBelavkin-Staszewski相対エントロピーの間を補間する単一パラメータ付き族として定義できる。
任意の有限集合の量子相対エントロピーと重みから、対応する多変量量子レーニ発散を定義できる。
2変量の重心レーニ発散は、log-Euclid型レーニ発散と最大レーニ発散の間に位置づけられる。

Quotes

"Interestingly, despite its central importance in information theory, only two additive and monotone quantum extensions of the classical relative entropy have been known so far, the Umegaki and the Belavkin-Staszewski relative entropies, which are the minimal and the maximal ones, respectively, with these properties."
"We use a generalization of a classical variational formula to define multi-variate quantum Rényi quantities corresponding to any finite set of quantum relative entropies (Dqx)x∈X and real weights (P(x))x∈X summing to 1, as Qb,q
P ((ϱx)x∈X ) := sup
τ≥0 (Tr τ − Σx P(x)Dqx(τ∥ϱx))."
"We show that if both Dq0 and Dq1 are lower semi-continuous, monotone, and additive quantum relative entropies, and at least one of them is strictly larger than the Umegaki relative entropy then the resulting barycentric Rényi divergences are strictly between the log-Euclidean and the maximal Rényi divergences, and hence they are different from any previously studied quantum Rényi divergence."

Key Insights Distilled From

Geometric relative entropies and barycentric Rényi divergences

by Milá... at arxiv.org 04-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2207.14282.pdf

Deeper Inquiries

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