Core Concepts
線性波動方程式在 L∞ 範數下不穩定,但可以通過對傅立葉乘數進行正則化來設計一種穩定的替代求解方法,並且可以將這些想法擴展到反問題,設計一種穩定的緊算子反演正則化方法。
這篇研究論文探討了波傳播和線性反問題中 L∞ 穩定性的議題。作者指出,雖然基於能量守恆原理的穩定性估計通常以 L2 範數表示,但 L∞ 範數對於檢測局部現象更為重要。
論文首先以線性波動方程式為例,證明其在 L∞ 範數下不穩定。為了解決這個問題,作者提出了一種基於傅立葉乘數正則化的替代求解方法,該方法在 L∞ 範數下是穩定的。
接著,作者將這些想法擴展到反問題,設計了一種用於反演緊算子的正則化方法,該方法同樣在 L∞ 範數下是穩定的。他們通過對奇異值分解進行非標準譜濾波來實現這一點。
最後,作者討論了這項研究與以雙曲型偏微分方程式建模的深度神經網路穩定性之間的關聯。他們指出,L∞ 穩定性對於理解深度神經網路中對抗樣本的存在至關重要。
證明了線性波動方程式在 L∞ 範數下的不穩定性。
提出了一種基於傅立葉乘數正則化的 L∞ 穩定求解方法。
將這些想法擴展到反問題,設計了一種穩定的緊算子反演正則化方法。
探討了這項研究與深度神經網路穩定性之間的關聯。