連接 Bermond-Bollob´as 猜想的籠子圖類推可產生擴展圖族

Core Concepts

證明了任何 Bermond-Bollob´as 猜想的正面答案都會產生擴展圖族。

Abstract

本文探討了 Bermond 和 Bollob´as 在 1981 年提出的一個問題,並將其推廣到籠子圖的情況。作者提出了三個相關的變體,並證明了任何一個變體的正面答案都會產生擴展圖族。

具體來說,作者證明了:

1. 如果存在一個常數 c,使得對於每對參數 k 和 g,都存在一個 k 正則圖 Γ,其階數不超過 M(k, g) + c,那麼對於任意 ε ≥ 0,存在一個 Γ 的子序列,構成一個擴展圖族,其 Cheeger 常數大於等於 1/(k-1) - ε。

2. 如果對於每個 k ≥ 3,存在一個常數 c_k,使得對於每個 g ≥ 3,都存在一個 (k, g)-圖 Γ,其階數不超過 M(k, g) + c_k,那麼同樣會產生一個擴展圖族。

3. 如果對於每個 k ≥ 3,存在一個常數 c'_k,使得存在無窮多個 g ≥ 3,滿足存在一個 (k, g)-圖 Γ,其階數不超過 M(k, g) + c'_k,那麼也會產生一個擴展圖族。

這些結果建立了籠子圖和擴展圖之間的聯繫,並為進一步研究這兩個重要的圖論概念提供了新的視角。

Stats

對於奇數齒數 g = 2s + 1 ≥ 3 和 k ≥ 3,任何 (k, g)-圖 Γ 的階數 |V(Γ)| 滿足不等式:
|V(Γ)| ≥ n(k, g) ≥ M(k, g) = k(k-1)^((g-1)/2) - 2 / (k-2)

對於偶數齒數 g = 2s ≥ 4 和 k ≥ 3,任何 (k, g)-圖 Γ 的階數 |V(Γ)| 滿足不等式:
|V(Γ)| ≥ n(k, g) ≥ M(k, g) = 2(k-1)^(g/2) - 2 / (k-2)

Quotes

無

Key Insights Distilled From

Analogues of Bermond-Bollob\'as Conjecture for Cages Yield Expander Families

by Leonard Chid... at arxiv.org 09-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.06629.pdf

Deeper Inquiries

1. 是否存在一個常數 C_k,使得對於每個 k ≥ 3,都存在無窮多個 g ≥ 3,滿足存在一個 (k, g)-圖 Γ,其階數不超過 C_k * M(k, g)?這樣的圖族是否一定包含擴展圖族?

根據文獻中的討論，對於每個 k ≥ 3，尚不清楚是否存在一個常數 C_k，使得對於每個 g ≥ 3，存在無窮多個 (k, g)-圖 Γ，其階數不超過 C_k * M(k, g)。這個問題的複雜性在於，雖然存在許多已知的 (k, g)-圖，但這些圖的階數與 Moore 界之間的關係仍然是開放的問題。特別是，文中提到的 Theorem 9 表明，如果存在一個無窮的 (k, g)-圖族，其階數不超過 M(k, g) + c_k，則可以推導出擴展圖族的存在。因此，若能證明存在一個常數 C_k，使得所有 (k, g)-圖的階數不超過 C_k * M(k, g)，則可能會導致擴展圖族的存在。然而，這一點尚未得到證實，因此目前無法確定這樣的圖族是否一定包含擴展圖族。

2. 如果對於每個 k ≥ 3,存在一個常數 α_k > 1,使得存在一個 (k, g)-圖族 Γ_k,g,其階數不超過 α_k * M(k, g),那麼這個圖族是否一定包含擴展圖族?

根據文獻的分析，若對於每個 k ≥ 3 存在一個常數 α_k > 1，使得存在一個 (k, g)-圖族 Γ_k,g，其階數不超過 α_k * M(k, g)，則這個圖族不一定包含擴展圖族。文中指出，雖然這樣的圖族可能在某些情況下具有良好的連通性，但並不保證它們會形成擴展圖族。具體來說，文中提到的構造方法顯示，通過連接兩個 (k, g)-圖的副本，可以創建一個新的圖族，其階數仍然不超過某個常數倍的 Moore 界，但這個新圖族可能不具備擴展性。因此，這表明即使存在一個常數 α_k，這樣的圖族也不一定包含擴展圖族。

3. 是否可以通過完全不同的技術,證明任何接近 Moore 界的 (k, g)-圖族都必須包含 Ramanujan 圖族?這需要比本文使用的 Cheeger 不等式更強的結果。

目前尚不清楚是否可以通過完全不同的技術來證明任何接近 Moore 界的 (k, g)-圖族都必須包含 Ramanujan 圖族。文中提到的 Cheeger 不等式提供了一種連結圖的特徵值和連通性的方式，但要證明所有接近 Moore 界的圖族必須包含 Ramanujan 圖族，可能需要更強的結果或不同的技術。這可能涉及到更深入的圖論和代數結構的研究，特別是如何利用圖的特徵值和結構性質來推導出 Ramanujan 圖的存在性。因此，這一問題仍然是開放的，未來的研究可能會探索新的方法來解決這一問題。