Core Concepts
多項式逸脱関数gを持つ任意の2つの関数f、gについて、f◦gnの通信量を f の問合せ複雑度とgの通信量を用いて下界を与える新しいリフティング定理を証明した。これは既知の直和定理の大幅な一般化であり、リフティング定理が成り立つ内部関数gの範囲を拡張した。
Abstract
本論文では、多項式逸脱関数gを持つ任意の2つの関数f、gについて、f◦gnの通信量を f の問合せ複雑度とgの通信量を用いて下界を与える新しいリフティング定理を証明した。
リフティング定理は、直和定理やXORレンマの強力な一般化であり、近年多くの応用例が知られている。これまでのリフティング定理は、内部関数gが特定の性質を満たす場合にのみ成り立っていた。
本論文の主要な貢献は以下の通り:
内部関数gの逸脱が入力長の逆多項式以下であれば、リフティング定理が成り立つことを示した。これは既知の直和定理の大幅な一般化である。
内部関数gの入力長が小さい場合でも、リフティング定理が成り立つことを示した。これにより、リフティング定理が成り立つ内部関数gの範囲を拡張した。
具体的には、以下の定理を証明した:
内部関数gの逸脱が log n以上であれば、f◦gnの決定論的通信量は Ω(Ddt(f) · ∆(g))である。
内部関数gの逸脱が log n以上であれば、f◦gnのランダム化通信量は Ω(Rdt(f) · ∆(g))である。
ここで、∆(g) = log(1/disc(g))は逸脱の逆数の対数である。
本論文の技術的な核心は、シミュレーション引数を拡張し、入力変数の密度を維持する新しい概念を導入したことにある。これにより、既存の結果の制限を緩和し、より一般的なリフティング定理を得ることができた。
Stats
内部関数gの逸脱∆(g)は log nを下回る。
内部関数gの入力長bは log |Λ|である。