日常言語の論理の公理化

Core Concepts

日常言語の論理(OL)は、クラシック論理を拒否するだけでなく、非クラシック的に有効な原理も受け入れる。OLは非構造的、連言的、矛盾的であり、数学的論理学者にとって非常に興味深い。

Abstract

本論文では、OLとその構造的な伴侶(sOL)に関する最近の発見を紹介する。OLとsOLのヒルベルト風の多重結論計算を導入し、それらが模块的かつ分析的であり、単一結論の公理化も容易に得られることを示す。sOLは代数化可能であり、その等価な意味論は3要素代数によって生成される弁別子多様体であることを明らかにする。sOLは3値論理J3の拡張として表現できることも証明する。

Stats

OLは、クラシック論理の一部のテーゼを拒否し、ボエティウスのテーゼやアリストテレスのテーゼなどの非クラシック的に有効な原理を受け入れる。
OLは非構造的であり、一般的な置換不変性を持たない。
OLの結合子は、期待される格子構造を与えず、擬結合子と呼ばれる。
OLは矛盾的な論理であり、非自明な構造的拡張を持たない。

Quotes

「いかなる命題も自身の否定を含意することはできない」 - アリストテレス
「(φ→ψ)∧(¬φ→ψ)⊢¬ψ→ψ」 - クラシック論理における反例

Key Insights Distilled From

Axiomatizing the Logic of Ordinary Discourse

by Vito... at arxiv.org 05-07-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.03543.pdf

Deeper Inquiries

OLの適用範囲をどのように拡張できるか

OLの適用範囲をどのように拡張できるか?
OLの適用範囲を拡張するためには、いくつかの方法が考えられます。まず、OLの言語に新しい論理結合子を導入することで、新しい論理システムを構築することができます。例えば、既存のOLに新しい条件付き演算子を追加することで、より複雑な条件を扱うことが可能になります。また、OLの定義域を拡張するために、新しい公理や推論規則を導入することも考えられます。これにより、より広範囲な推論パターンや論理的関係を表現できるようになります。さらに、他の論理システムや数学的構造との関連性を探求し、それらとの統合を図ることで、OLの適用範囲をさらに拡大することができます。

OLの非クラシック的特徴をどのように他の論理システムと比較できるか

OLの非クラシック的特徴をどのように他の論理システムと比較できるか?
OLの非クラシック的特徴を他の論理システムと比較する際には、まず、OLが古典論理と異なる点を明確に把握することが重要です。例えば、OLは三値論理であり、真理値が0、1、1/2の3つの値を取ることが特徴です。このような非クラシックな真理値の取り扱いは、古典論理とは異なる推論パターンや結論を生み出す可能性があります。さらに、OLは非構造的であり、一般的な真理値表による論理システムとは異なる特性を持っています。これにより、OLが古典論理と比較してどのような推論や論理的関係を表現できるかを明らかにすることが重要です。

OLの代数的構造とその他の3値論理との関係をさらに探求できるか

OLの代数的構造とその他の3値論理との関係をさらに探求できるか?
OLの代数的構造と他の3値論理との関係をさらに探求するためには、まず、OLの代数的モデルを詳細に分析し、他の3値論理との共通点や相違点を明らかにすることが重要です。代数的手法を用いて、OLが他の3値論理とどのように関連しているかを数学的に示すことができます。また、OLの代数的性質を他の3値論理の性質と比較することで、それらの関係をより深く理解することができます。さらに、OLの代数的構造を用いて、新たな洞察や結果を導くためのさらなる研究や分析を行うことで、3値論理の理論や応用に貢献することができます。