在 Lean 中實現直覺主義命題邏輯及其完備性證明

Core Concepts

本文旨在 Lean 定理證明器中形式化直覺主義命題邏輯 (IPL)，並驗證其相對於 Kripke 語義和 Heyting 代數語義的完備性，探索兩種語義範式之間的關係。

Abstract

文件概述

本文介紹了在 Lean 定理證明器中對直覺主義命題邏輯 (IPL) 的形式化驗證。作者選擇 Lean 的原因是其強大的證明能力、豐富的數學庫 (Mathlib) 以及基於依賴類型理論的理論基礎。

主要內容

本文形式化了 IPL 的語言、證明系統和語義，並基於此完成了以下工作：

1. 形式化 IPL 語言：
   • 使用歸納類型定義命題變量 Var 和公式 Formula。
   • 定義了包括 falsity (⊥), conjunction (∧), disjunction (∨) 和 implication (→) 在內的邏輯連接詞。
2. 形式化 IPL 證明系統：
   • 使用歸納類型定義了 Hilbert 風格的證明系統 Proof，其中包含了各個公理和推演規則。
   • 基於此證明系統，作者形式化證明了大量的定理和派生的推演規則。
3. 形式化 Kripke 語義：
   • 定義了 Kripke 模型 KripkeModel，包括世界空間、可達性關係和賦值函數。
   • 形式化了公式在 Kripke 模型中的真值、有效性和語義推論等概念。
4. 證明 Kripke 完備性定理：
   • 首先證明了語義可靠性，即任何 Γ-定理都是 Γ 的局部語義推論。
   • 然後，利用反證法和經典邏輯中的排中律，構造了規範模型，並證明了如果一個公式是 Γ 的局部語義推論，那麼它一定是 Γ-定理。
5. 形式化 Heyting 代數語義：
   • 形式化了 Heyting 代數的基本概念，包括濾子、真濾子、素濾子等。
   • 基於 Heyting 代數定義了 IPL 的代數模型和 Lindenbaum-Tarski 代數。
6. 證明代數完備性定理：
   • 證明了語義可靠性，即任何 Γ-定理在代數語義下都是 Γ 的推論。
   • 利用 Lindenbaum-Tarski 代數的性質，證明了如果一個公式在代數語義下是 Γ 的推論，那麼它一定是 Γ-定理。
7. 建立 Kripke 語義和代數語義之間的聯繫：
   • 通過構造閉集和基於閉集的 Heyting 代數，證明了 Kripke 模型的有效公式在對應的代數模型中也成立。
   • 反之，通過構造基於素濾子的 Kripke 模型，證明了代數模型的有效公式在對應的 Kripke 模型中也成立。

本文貢獻

本文的主要貢獻在於：

• 使用了不同於 Guo, Chen 和 Bentzen [8] 的 Hilbert 風格證明系統。
• 證明了大量的定理和派生的推演規則。
• 形式化了 IPL 的代數語義，並證明了相應的完備性定理。
• 實現了代數有效性和 Kripke 有效性之間等價性的語義證明。
• 以一種作者認為比 [8] 中的方法更簡單的方式處理了公式集的可數性。

Stats

Quotes

Key Insights Distilled From

Intuitionistic Propositional Logic in Lean

by Dafi... at arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.23765.pdf

Deeper Inquiries

如何將本文的工作擴展到直覺主義謂詞邏輯？

將本文的工作擴展到直覺主義謂詞邏輯 (IPL) 需要進行以下擴展：

語言:

在命題變量的基礎上，引入項、函數符號和謂詞符號的概念。
添加量詞 (∀, ∃) 來形成量化公式。

證明系統:

在現有的命題邏輯推理規則基礎上，添加量詞的引入和消去規則，例如全稱概括、存在例證等。

語義:

Kripke 語義:

Kripke 模型需要擴展以解釋謂詞符號，引入一個域函數，為每個世界分配一個論域，並為每個謂詞符號分配一個在每個世界上的關係。
修改滿足關係的定義以適應量化公式，例如，一個世界滿足 ∀x.ϕ(x) 當且僅當所有可到達世界的域中所有個體都滿足 ϕ(x)。

代數語義:

使用Heyting 代數的完備代數來解釋量詞，需要引入無限運算來解釋量詞。

完備性證明:

需要重新證明可靠性和完備性定理，證明過程將比命題邏輯的情況更加複雜，需要處理量詞和變量的約束關係。

總之，將本文的工作擴展到直覺主義謂詞邏輯需要對語言、證明系統和語義進行非平凡的擴展，並重新證明可靠性和完備性定理。

經典邏輯中有哪些定理在直覺主義邏輯中不成立？

經典邏輯中一些在直覺主義邏輯中不成立的定理包括：

排中律 (Law of excluded middle): p ∨ ¬p

直覺主義邏輯不接受排中律作為一個普遍有效的定理，因為它認為一個命題及其否定不一定總是有一個可證明的真值。

雙重否定消去 (Double negation elimination): ¬¬p → p

直覺主義邏輯中，雙重否定消去不成立，因為一個命題的雙重否定並不一定等價於該命題本身。

皮爾士定律 (Peirce's law): ((p → q) → p) → p

皮爾士定律在經典邏輯中是一個有效的定理，但在直覺主義邏輯中不成立。

德摩根定律 (De Morgan's laws) 的一部分:

¬(p ∧ q) → ¬p ∨ ¬q 在直覺主義邏輯中不成立。

存在性引入 (Existential introduction) 的經典形式:

在經典邏輯中，如果 p 為真，則可以推导出 ∃x.p (即使 p 中不包含 x)。但在直覺主義邏輯中，這是不允許的，因為需要提供一個具体的證據來證明存在性的斷言。
這些定理的不成立反映了經典邏輯和直覺主義邏輯之間的核心區別：經典邏輯基於真值二分法，而直覺主義邏輯則強調構造性證明和數學對象的存在性證明。

形式化驗證在數學和計算機科學的發展中扮演著怎樣的角色？

形式化驗證在數學和計算機科學的發展中扮演著越來越重要的角色，它提供了一種嚴格而機械化的方式來保證軟硬件系統的正確性和可靠性。
在數學中：

提高數學證明可靠性: 形式化驗證可以消除人工證明中可能出現的錯誤和漏洞，提高數學定理和證明的可靠性。
處理複雜的數學問題: 對於一些極其複雜的數學問題，人工證明非常困難，形式化驗證可以提供一種可行的解決方案。
發現新的數學知識: 在形式化驗證的過程中，可能會發現新的數學概念、定理和證明方法。
在計算機科學中：

驗證軟硬件系統的正確性: 形式化驗證可以驗證軟硬件系統的设计是否符合預期，避免潛在的錯誤和漏洞。
提高軟硬件系統的安全性: 形式化驗證可以驗證安全協議和算法的正確性，提高系統的安全性。
自動生成正確的代码: 形式化驗證可以作為一種生成正確代码的工具，減少人工編程的錯誤。
總之，形式化驗證在數學和計算機科學中扮演著以下角色：

提高可靠性和安全性: 保證數學證明、軟硬件系統的正確性和可靠性。
處理複雜性: 解決人工難以處理的複雜問題。
促進自動化: 推動自動定理證明和程序驗證的發展。
隨著計算機硬件和軟件技術的發展，形式化驗證將在數學和計算機科學中發揮越來越重要的作用，成為確保系統正確性、可靠性和安全性的重要手段。