在黑-舒爾斯和默頓-加曼方程式之間的局部等價性

Core Concepts

黑-舒爾斯方程式和默頓-加曼方程式在局部上是等價的,這是由於引入了一個"規範場"(即隨機波動率)來恢復價格的局部對稱性。

Abstract

本文探討了黑-舒爾斯(BS)方程式和默頓-加曼(MG)方程式之間的局部等價性。

首先,回顧了BS方程式的標準形式及其哈密頓量子化。BS方程式中的波動率是一個自由參數,需要投資者進行估計。

接下來,回顧了MG方程式的標準形式及其哈密頓量子化。MG方程式考慮了波動率是隨機變量的情況,這使得期權市場是不完全的。

然後,作者介紹了使用規範理論分析BS哈密頓量子化的方法。作者證明,為了恢復價格的局部對稱性,需要引入一個"規範場",即隨機波動率。這樣得到的規範哈密頓量子化,等價於MG方程式。

作者進一步分析了規範哈密頓量子化的一般情況,不需要滿足MG方程式的特定參數關係。作者發現,即使在有非平凡波動率的情況下,BS哈密頓量子化也可以從規範哈密頓量子化中恢復,只要滿足某些特定條件。

最後,作者利用鞅條件分析了波動率和股票價格之間的關係,並指出這種關係可以用於改進波動率的估計。

Stats

股票價格的演化方程式為:dS/dt = φS + σSR1
波動率的演化方程式為:dV/dt = λ + μV + ζVαR2
兩個隨機過程R1和R2存在相關性:<R1(t')R1(t)>=<R2(t')R2(t)>=δ(t-t'), <R1(t)R2(t')>=ρ

Quotes

"黑-舒爾斯方程式和默頓-加曼方程式在局部上是等價的,這是由於引入了一個'規範場'(即隨機波動率)來恢復價格的局部對稱性。"
"規範原理建議,即使在有非平凡波動率的情況下,BS哈密頓量子化也可以從規範哈密頓量子化中恢復,只要滿足某些特定條件。"

Key Insights Distilled From

On the Local equivalence of the Black Scholes and the Merton Garman equations

by Ivan Arraut at arxiv.org 10-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.00925.pdf

Deeper Inquiries

如何利用規範理論的洞見進一步改進期權定價模型?

規範理論提供了一種新的視角來理解期權定價模型，特別是在波動率的處理上。根據文獻，波動率可以被視為一種規範場，這意味著它在期權定價中不僅僅是一個自由參數，而是與股票價格之間存在著特定的功能關係。這種觀點可以進一步改進期權定價模型，具體方法包括：

引入隨機波動率：通過將波動率視為隨機變量，模型可以更好地捕捉市場的非理性行為和隨機波動，從而提高預測的準確性。

利用局部對稱性：根據規範理論，當在布萊克-斯科爾斯（BS）方程中引入局部對稱性時，可以導出類似於梅頓-加爾曼（MG）方程的結果。這意味著在期權定價中，考慮到股票價格變化的局部對稱性，可以使模型更具靈活性和適應性。

改進波動率估計：通過規範理論的洞見，可以建立股票價格與波動率之間的功能關係，這將有助於投資者更準確地估計波動率，從而做出更明智的投資決策。

除了股票價格和波動率之間的關係,還有哪些其他因素可能影響期權定價?

除了股票價格和波動率，還有多種因素可能影響期權定價，包括：

利率：無風險利率的變化會影響期權的現值，特別是對於長期期權，利率的上升通常會提高看漲期權的價值，因為未來的支付在折現時的價值會降低。

到期時間：期權的到期時間越長，期權的時間價值通常越高。這是因為長期期權有更多的時間來實現盈利。

市場情緒和波動性微笑：市場情緒的變化會影響投資者對未來波動性的預期，這可能導致波動性微笑現象，即不同執行價格的期權隱含波動率不同。

股息支付：如果標的資產支付股息，這會影響期權的定價，因為股息支付會降低股票的預期價格，從而影響看漲期權的價值。

規範理論在其他金融領域,如債券定價或利率衍生品,是否也有類似的應用?

是的，規範理論在其他金融領域，如債券定價和利率衍生品中也有類似的應用。具體而言：

債券定價：在債券市場中，利率的變化可以被視為一種隨機過程，規範理論可以幫助建立更複雜的模型來捕捉利率的隨機性和波動性，從而提高債券定價的準確性。

利率衍生品：在利率衍生品的定價中，規範理論可以用來分析利率的動態行為，特別是在考慮到利率的隨機波動性時。這可以幫助投資者更好地理解和管理利率風險。

市場不完全性：規範理論的應用還可以幫助解釋市場不完全性對金融工具定價的影響，這在債券和利率衍生品市場中尤為重要，因為這些市場常常面臨流動性風險和信用風險。

總之，規範理論的應用不僅限於期權市場，還可以擴展到其他金融領域，為各種金融工具的定價提供新的視角和方法。