검은-숄즈 내재 변동성에 대한 더 엄격한 '균일 상한 및 하한'과 근 찾기에의 응용

Core Concepts

옵션 델타를 체계적으로 활용하여 Tehranchi [2016]의 검은-숄즈 내재 변동성에 대한 상한과 하한보다 더 엄격한 하한과 상한을 도출하였다. 이를 활용하여 새로운 뉴턴-랩슨 알고리즘을 제안하였는데, 이는 극단적인 옵션 가격 범위에서도 빠르게 수렴한다.

Abstract

이 논문은 두 가지 목적을 가지고 있다.

첫째, 2장에서 Tehranchi [2016]의 검은-숄즈 내재 변동성 상한과 하한을 개선하였다. 새로운 상한과 하한은 다음과 같이 요약된다:

-k
Φ−1

c
1 + ek

|
{z
}
[11, Prop. 4.6]
≤L2(c) = d−1
1
◦Φ−1(c)
|
{z
}
[11, Prop. 4.9]
≤L3(c) = d−1
1
◦Φ−1
c (c + ek)
2c + ek −1

|
{z
}
This paper (Cor. 5.2)
≤LU23(c) = J ◦U23(c)
|
{z
}
This paper (Cor. 5.1)
≤σ ≤U23(c) = H

min
1 + c
2
, c + ekΦ(−
√
2k)

|
{z
}
This paper (Cor. 4.1)
≤
U3(c) = −Φ−1
1 −c
2

−Φ−1
1 −c
2ek

|
{z
}
This paper (Prop. 4)
≤U1(c) = −2 Φ−1
1 −c
1 + ek

|
{z
}
[11, Prop. 4.3]
.

옵션 델타의 상한을 체계적으로 활용하여 더 엄격한 상한과 하한을 도출하였다. 또한 상한을 더 엄격한 상한으로, 하한을 더 엄격한 하한으로 변환하는 방법을 제시하였다.

둘째, 3장에서 새로운 내재 변동성 근 찾기 방법을 제안하였다. 기존의 단순 뉴턴-랩슨 방법은 매우 낮은 가격의 옵션에 대해 수렴 속도가 느리다. 이를 해결하기 위해 로그 가격을 이용한 새로운 뉴턴-랩슨 방법을 제안하였다. 이 방법은 하한에서 시작하여 근에 수렴하는 것이 보장된다. 특히 새로운 하한 L3(c)를 초기값으로 사용하면 몇 번의 반복으로 빠르게 수렴한다.

Stats

옵션 가격 c와 내재 변동성 σ의 관계는 다음과 같이 표현된다:
c = Φ(d1) −ek Φ(d2)
여기서 d1,2 = −k/σ ± σ/2.

Quotes

없음

Key Insights Distilled From

Tighter 'uniform bounds for Black-Scholes implied volatility' and the applications to root-finding

by Jaehyuk Choi... at arxiv.org 10-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2302.08758.pdf

Deeper Inquiries

옵션 가격과 내재 변동성의 관계에 대한 다른 접근법은 무엇이 있을까?

옵션 가격과 내재 변동성(IV)의 관계를 이해하기 위해 여러 접근법이 존재한다. 첫째, Black-Scholes 모델은 가장 널리 사용되는 방법으로, 옵션 가격을 내재 변동성의 함수로 표현한다. 이 모델은 옵션의 가격을 결정하는 데 필요한 여러 변수(기초 자산 가격, 행사가, 만기, 무위험 이자율 등)를 고려하여 내재 변동성을 추정한다. 둘째, 비선형 회귀 분석을 통해 과거의 옵션 가격 데이터를 기반으로 내재 변동성을 추정하는 방법이 있다. 이 방법은 시장에서 관찰된 가격과 모델에서 예측한 가격 간의 차이를 최소화하는 방향으로 내재 변동성을 조정한다. 셋째, 모델 기반 접근법으로는 다양한 확률적 변동성 모델(예: Heston 모델, SABR 모델 등)을 사용하여 내재 변동성을 추정하는 방법이 있다. 이러한 모델들은 변동성이 시간에 따라 변화할 수 있음을 반영하여 더 현실적인 가격 예측을 가능하게 한다. 마지막으로, 머신러닝 기법을 활용하여 대량의 데이터를 분석하고 내재 변동성을 예측하는 방법도 최근에 주목받고 있다. 이러한 다양한 접근법들은 각기 다른 시장 상황과 데이터 특성에 따라 유용하게 활용될 수 있다.

극단적으로 낮은 옵션 가격에 대한 내재 변동성 계산 문제를 해결하는 다른 방법은 무엇이 있을까?

극단적으로 낮은 옵션 가격에 대한 내재 변동성 계산 문제는 전통적인 Newton-Raphson 방법이 느리게 수렴하는 문제를 동반한다. 이를 해결하기 위한 대안으로, 로그 가격을 사용하는 Newton-Raphson 방법이 제안되었다. 이 방법은 로그 가격을 목표 함수로 설정하여 내재 변동성을 계산하는 방식으로, 가격이 낮을 때의 수렴 속도를 개선한다. 또한, 하한 경계를 초기 추정값으로 사용하는 방법도 효과적이다. 예를 들어, L3(c)와 같은 새로운 하한 경계를 사용하면 초기 추정값이 더 정확해져서 수렴 속도가 빨라진다. 이 외에도, 비선형 최적화 기법이나 수치적 방법을 활용하여 극단적인 가격 상황에서도 안정적으로 내재 변동성을 계산할 수 있는 방법들이 연구되고 있다. 이러한 접근법들은 특히 옵션 가격이 매우 낮거나 비정상적인 시장 상황에서 유용하게 적용될 수 있다.

내재 변동성 계산과 관련하여 금융공학 분야 외에서 응용될 수 있는 분야는 무엇이 있을까?

내재 변동성 계산은 금융공학 외에도 여러 분야에서 응용될 수 있다. 첫째, 보험 산업에서는 옵션 가격 모델을 활용하여 보험 상품의 가격 책정 및 리스크 관리에 내재 변동성을 적용할 수 있다. 예를 들어, 보험 계약의 변동성을 평가하여 적절한 보험료를 설정하는 데 도움을 줄 수 있다. 둘째, 경제학에서는 자산 가격의 변동성을 분석하여 시장의 효율성을 평가하거나 경제적 불확실성을 측정하는 데 활용될 수 있다. 셋째, 데이터 과학 및 머신러닝 분야에서는 내재 변동성을 예측하는 모델을 개발하여 다양한 데이터 세트에서 패턴을 분석하고 예측하는 데 기여할 수 있다. 마지막으로, 정책 분석에서도 내재 변동성을 활용하여 금융 시장의 반응을 예측하고, 정책 변화가 시장에 미치는 영향을 평가하는 데 유용할 수 있다. 이러한 다양한 분야에서 내재 변동성 계산은 중요한 역할을 할 수 있으며, 각 분야의 특성에 맞게 응용될 수 있다.