Core Concepts
이 논문에서는 2차원 영역에서 특이섭동 4차 경계값 문제를 해결하기 위해 약 Galerkin (WG) 유한요소법을 적용한다. Shishkin 격자를 사용하여 특이섭동 매개변수와 무관한 균일한 수렴을 달성한다. H2-등가 이산 규범에서 해당 WG 솔루션에 대한 점근적으로 최적의 차수 오차 추정을 수립한다. 수렴 이론을 검증하기 위한 수치 테스트를 제시한다.
Abstract
이 논문은 2차원 영역에서 특이섭동 4차 경계값 문제를 해결하기 위해 약 Galerkin (WG) 유한요소법을 사용한다. 주요 내용은 다음과 같다:
Shishkin 격자를 사용하여 특이섭동 매개변수와 무관한 균일한 수렴을 달성한다.
H2-등가 이산 규범에서 해당 WG 솔루션에 대한 점근적으로 최적의 차수 오차 추정을 수립한다.
수렴 이론을 검증하기 위한 수치 테스트를 제시한다.
구체적으로:
제1절에서는 문제 설정과 관련 연구 동향을 소개한다.
제2절에서는 Shishkin 격자와 관련 가정을 설명한다.
제3절에서는 약 Laplacian 연산자와 약 구배 연산자를 정의하고 WG 유한요소 방정식을 제시한다.
제4절에서는 국소 L2 투영 연산자와 근사 특성을 소개한다.
제5절에서는 WG 솔루션에 대한 오차 추정을 수행한다.
제6절에서는 수치 실험 결과를 보여준다.
이 연구는 특이섭동 4차 방정식 문제에 대한 WG 유한요소법의 수렴 분석을 제시하며, Shishkin 격자를 활용하여 특이섭동 매개변수와 무관한 균일한 수렴을 달성하였다.
Stats
ε = 1e-00일 때, N = 8에서 오차는 1.01e-03이고 수렴 차수는 1.96이다.
ε = 1e-01일 때, N = 8에서 오차는 3.77e-03이고 수렴 차수는 1.83이다.
ε = 1e-02일 때, N = 8에서 오차는 1.17e-02이고 수렴 차수는 0.86이다.
ε = 1e-03일 때, N = 8에서 오차는 3.81e-03이고 수렴 차수는 0.87이다.
ε = 1e-04일 때, N = 8에서 오차는 1.22e-03이고 수렴 차수는 0.89이다.
ε = 1e-05일 때, N = 8에서 오차는 4.18e-04이고 수렴 차수는 1.00이다.
ε = 1e-06일 때, N = 8에서 오차는 2.09e-04이고 수렴 차수는 1.64이다.
ε = 1e-07일 때, N = 8에서 오차는 1.74e-04이고 수렴 차수는 2.84이다.