Core Concepts
이 논문은 볼록 최소화 문제를 위한 전형적인 하이브리드 고차 방법에 대한 이산 쌍대 문제를 도출한다. 이산 원시 및 쌍대 문제는 추가적인 평활성 가정 하에 수렴률을 가진 a priori 오차 추정을 이끌어내는 약 볼록 쌍대성을 만족한다. 이 쌍대성은 일반적인 다면체 격자와 임의의 다항식 차수에 대해 성립한다. 정규 삼각형 격자에 대한 a posteriori 오차 추정을 위해 새로운 후처리가 제안되며, 이는 균일 격자 세분화에 비해 우수한 적응형 격자 세분화 알고리즘을 동기부여한다.
Abstract
이 논문은 볼록 최소화 문제를 위한 하이브리드 고차 방법의 이산 쌍대 문제를 다룬다.
개요:
볼록 최소화 문제 (1.1)과 그 쌍대 문제 (1.2)를 소개한다.
이산 수준에서 약 쌍대성 (1.3)을 만족하는 방법은 드물다는 점을 지적한다.
하이브리드 고차 (HHO) 방법이 이 제한을 극복할 수 있음을 시사한다.
이산화 및 재구성 연산자:
HHO 방법의 이산 공간 V(M)과 W(M)을 정의한다.
구배 재구성 Dh, 발산 재구성 divh, 그리고 잠재 재구성 R*h를 소개한다.
이들 재구성 연산자의 특성을 설명한다.
이산 약 쌍대성:
이산 원시 문제 Eh와 이산 쌍대 문제 E*h가 (1.3)을 만족함을 보인다.
이를 위해 이산 부분 적분 공식 (3.1)을 유도한다.
a priori 오차 분석:
이산 약 쌍대성을 활용하여 a priori 오차 추정식 (4.3)을 유도한다.
추가적인 평활성 가정 하에 수렴률을 얻는다.
a posteriori 오차 추정:
정규 삼각형 격자에 대한 W^(p')(div, Ω, M) 적합 후처리 σ0를 제안한다.
이를 통해 원시-쌍대 격차를 이용한 a posteriori 오차 추정이 가능해진다.
Stats
볼록 최소화 문제 (1.1)의 에너지 밀도 Ψ는 두 방향 성장 조건 (4.9)을 만족한다.
이로부터 연속 수준에서 Du와 σ의 a priori 상한 ∥Du∥_p + ∥σ∥_p' ≲ 1을 얻을 수 있다.
Quotes
"이 논문은 볼록 최소화 문제를 위한 전형적인 HHO 방법에 대한 이산 쌍대 문제를 도출한다."
"이산 원시 및 쌍대 문제는 추가적인 평활성 가정 하에 수렴률을 가진 a priori 오차 추정을 이끌어내는 약 볼록 쌍대성을 만족한다."
"이 쌍대성은 일반적인 다면체 격자와 임의의 다항식 차수에 대해 성립한다."