이 연구에서는 강경 시간 의존 편미분 방정식을 효율적으로 해결하기 위한 확장 Krylov 기반 적응형 순위 암묵적 시간 적분기를 제안한다.
먼저 열 방정식을 프로토타입 문제로 다룬다. 방법-of-lines 접근법을 사용하여 공간 이산화를 수행하고, 암묵적 시간 이산화를 위해 Sylvester 방정식을 도출한다. 이 Sylvester 방정식의 해를 효율적으로 구하기 위해 확장 Krylov 부공간 방법을 활용한다. 특히 부공간의 크기를 적응적으로 조절하여 계산 비용을 최소화하는 전략을 제안한다. 이때 부공간의 크기 결정은 시간 이산화 오차와 잔차 크기를 비교하여 수행한다.
다음으로 다종 입자 비선형 Fokker-Planck 방정식에 제안된 알고리즘을 적용한다. 이 방정식은 강경하고 비선형적이며 질량, 운동량, 에너지 보존 특성을 가진다. 운동 방정식과 거시적 모멘트 방정식을 분리하여 해를 구하고, 국소 거시적 보존(LoMaC) 기법을 통해 보존 특성을 유지한다.
제안된 알고리즘은 정확성, 계산 효율성, 평형 보존, 거시적 보존 측면에서 우수한 성능을 보인다. 이는 고차원 시간 의존 문제에 대한 확장 가능하고 효율적이며 정확한 방법론의 출발점이 될 것이다.
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