이 논문은 2차원 쿨롱 전하(또는 2차원 이상적 유체의 점 와류) 두 종류의 평형 상태에 대한 연구를 계속한다. 두 종류의 와류 순환 비율이 -1인 경우, 평형 상태와 슈뢰딩거 연산자의 인수분해/다르부 변환 사이의 관계는 이미 오래전에 밝혀졌다. 그러나 비율이 -2인 경우에 대해서는 아직 해답이 없었다. 이 논문에서는 그에 대한 해답을 제시한다.
외부 장이나 배경 유동이 없는 경우, N개의 쿨롱 전하 또는 점 와류의 평형 위치는 N개의 대수 방정식의 근으로 주어진다. 두 종류의 N=l+m개 와류로 이루어진 시스템의 경우, 이 평형 조건은 두 다항식 p(z)와 q(z)에 대한 이차 미분 방정식으로 다시 쓸 수 있다.
Λ=1인 경우(두 종류의 와류 순환 크기가 반대부호이자 크기가 같은 경우), 이 방정식은 Burchnall과 Chaundy에 의해 완전히 해결되었다. 이 경우 해는 Adler-Moser 다항식으로 알려진 다항식 해로 주어진다.
Λ=2인 경우에 대해서는 이전에 알려진 바가 없었다. 이 논문에서는 이 경우에 대한 해답을 제시한다. 이를 위해 3차 미분 연산자에 대한 다르부 변환을 도입한다. 이를 통해 Λ=2 평형 상태를 생성하는 일반적인 해법을 제시한다.
또한 이 논문에서는 Λ=2 평형 상태가 Sawada-Kotera 계층과 관련되어 있음을 보인다. 이를 통해 다항식 타우 함수를 이용한 결정식 표현을 제시할 수 있다.
마지막으로 이 논문은 평행 이동하는 전하 배열, 주기적 전하 배열 등 다양한 일반화 문제에 대해 논의한다.
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by Igor Loutsen... at arxiv.org 10-03-2024
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