Core Concepts
주어진 서열 감소 함수들을 이용하여 정의된 재귀적 알고리즘은 모든 실수 입력에 대해 종료되며 서열 감소 함수가 된다.
Abstract
이 논문은 실수에서 정의된 함수의 서열 감소 특성과 이를 이용한 재귀적 알고리즘에 대해 다룬다.
먼저, 함수 f가 서열 감소라는 것은 f에 대한 무한 감소 수열이 존재하지 않는다는 의미이다. 이러한 서열 감소 함수의 성질을 이용하여, 주어진 서열 감소 함수 f, g1, ..., gk, s를 이용하여 다음과 같은 재귀적 알고리즘 M(x)를 정의할 수 있다:
M(x) =
f(x), if x < 0
g1(-M(x-g2(-M(x-...-gk(-M(x-s(x)))...))))
이 때, 모든 실수 입력 x에 대해 M(x)가 종료되며 서열 감소 함수가 된다는 것을 증명한다.
더 나아가, 이 알고리즘 M(x)의 서열 높이 o(M)에 대한 상한을 제시한다. 구체적으로, k=1일 때 o(M) ≤ωωγ+1(o(s)+1), k≥2일 때 o(M) ≤φk-1(γ+o(s)+1)로 bounded 됨을 보인다. 여기서 γ는 o(f), o(s), o(g1), ..., o(gk) 중 최소인 ordinal이다.
이는 기존에 연구된 특정 함수 M에 대한 결과들, 즉 o(M) = ε0, o(M) = φn-1(0)을 일반화한 것이다.
Stats
모든 실수 입력 x에 대해 M(x)가 종료된다.
모든 실수 입력 x에 대해 M(x)가 서열 감소 함수이다.
k=1일 때 o(M) ≤ωωγ+1(o(s)+1)
k≥2일 때 o(M) ≤φk-1(γ+o(s)+1), 여기서 γ는 o(f), o(s), o(g1), ..., o(gk) 중 최소인 ordinal