Core Concepts
본 논문은 온라인 이분할 문제에 대해 기존의 이차항 경쟁비율을 개선한 최초의 무작위 온라인 알고리즘을 제시한다. 제안된 알고리즘은 자원 증강 없이도 O(n^{23/12} \sqrt{\log n})의 경쟁비율을 달성한다.
Abstract
본 논문은 온라인 이분할 문제에 대한 새로운 알고리즘을 제안한다. 온라인 이분할 문제는 n개의 요소를 두 개의 크기가 n/2인 클러스터로 동적으로 유지하는 문제이다. 온라인 알고리즘은 요소 쌍의 시퀀스를 받으며, 클러스터 간 요청은 비용 1이고 클러스터 내 요청은 무료이다. 알고리즘은 클러스터를 변경할 수 있으며, 이 경우 변경된 요소 수만큼의 비용이 발생한다.
기존에는 O(n^2) 경쟁비율의 단순한 결정론적 알고리즘이 알려져 있었다. 본 논문에서는 이를 개선한 무작위 온라인 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 자원 증강 없이도 O(n^{23/12} \sqrt{\log n})의 경쟁비율을 달성한다.
알고리즘의 핵심 아이디어는 다음과 같다:
에폭을 두 단계로 나눈다.
첫 번째 단계에서는 구성 요소의 크기를 추적하며, 구성 요소 병합 시 최소한의 재배치만 수행한다.
두 번째 단계에서는 허용된 분할 집합에서 무작위로 선택한다.
분석을 통해 첫 번째 단계의 비용이 O(n^2/d * (q^4 + qw + n/q) + ndlog n)이고, 두 번째 단계의 기대 비용이 O(nlog |P(C_T)|)임을 보인다. 적절한 매개변수 선택으로 전체 경쟁비율을 O(n^{23/12} \sqrt{\log n})로 달성할 수 있다.