Core Concepts
Es wird ein effizienter Algorithmus präsentiert, um zu entscheiden, ob eine k-farbige Punktmenge eine Teilmenge von vier Punkten mit unterschiedlichen Farben enthält, deren rektiliniearer konvexer Hülle eine positive Fläche hat.
Abstract
Die Autoren untersuchen das Problem, zu entscheiden, ob eine k-farbige Punktmenge P der Größe n eine Teilmenge von vier Punkten mit unterschiedlichen Farben enthält, deren rektiliniearer konvexer Hülle eine positive Fläche hat.
Sie präsentieren zunächst einen O(n log n)-Zeitalgorithmus, um dieses Problem zu lösen, wobei die versteckte Konstante nicht von k abhängt. Anschließend beweisen sie, dass dieses Problem in dem algebraischen Berechnungsbaummodell eine Zeitkomplexität von Ω(n log n) hat.
Der Algorithmus funktioniert wie folgt:
Berechne die Menge der y-Koordinaten Y und die Menge der Zwischenlinien H.
Für jede Zwischenlinie hi ∈ H, finde vier Mengen von Kandidatenpunkten NEi, NWi, SWi und SEi, die jeweils maximal vier Punkte mit unterschiedlichen Farben enthalten, die in den entsprechenden Quadranten extrem in horizontaler Richtung sind.
Für jede Zwischenlinie hi ∈ H, suche nach der Existenz eines 4-farbigen Kreuzes mit Zentrum auf hi, dessen Zeugenpunkte aus den entsprechenden Kandidatenpunktmengen stammen.
Die Korrektheit des Algorithmus wird durch Lemmata 2 und 3 bewiesen. Die Laufzeit von O(n log n) ergibt sich aus der Sortierung der Eingabe und der linearen Verarbeitung der Kandidatenpunktmengen.
Darüber hinaus zeigen die Autoren, dass das Problem eine Zeitkomplexität von Ω(n log n) im algebraischen Berechnungsbaummodell hat. Dazu definieren sie zwei Hilfsprobleme (2-Colored Open Unitary Gap Problem und 2-Colored Negative Slope Problem) und zeigen lineare Reduktionen zwischen diesen Problemen und dem 4-Colored Cross Problem.
Stats
Es gibt keine expliziten Statistiken oder Zahlen in dem Artikel.
Quotes
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