Core Concepts
リーマン多様体Stiefel多様体上の立方多項式を数値的に解くための2つの方法を比較する。一つは調整されたデ・カステルジョー アルゴリズムであり、もう一つは離散化写像を通して構築されたシンプレクティック積分器である。
Abstract
本論文では、Stiefel多様体Stn,kにおけるリーマン立方多項式を数値的に解くための2つの方法を比較している。
まず、調整されたデ・カステルジョー アルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムは、与えられた初期点と最終点、初期速度と最終速度から、Stiefel多様体上の滑らかな曲線を生成する。アルゴリズムの中心となるのは、擬測地線と呼ばれる曲線を用いることである。
次に、シンプレクティック積分器について説明する。この方法は、リトラクション写像と離散化写像を組み合わせて構築される。リトラクション写像は、接空間から多様体への滑らかな写像であり、離散化写像は接束から多様体の2点への写像である。これらの写像を用いて、リーマン立方多項式のハミルトン系を離散化し、シンプレクティック積分器を得る。
最後に、n = 3, k = 1 と n = 3, k = 2の2つの場合について、両手法の数値比較を行う。前者の場合は球面と同相であり、擬測地線は実際の測地線となる。後者の場合は、擬測地線が測地線とは異なる例となる。数値結果を分析し、各手法の利点を議論する。
Stats
球面(n = 3, k = 1)の場合、調整されたデ・カステルジョー アルゴリズムの相対平均誤差は約0.080%である。
Stiefel多様体St3,2(n = 3, k = 2)の場合、調整されたデ・カステルジョー アルゴリズムの相対平均誤差は約0.45%である。
リトラクション写像に基づく数値積分器の誤差は時間ステップに依存し、時間ステップを小さくすれば誤差は減少する。
Quotes
"リーマン立方多項式は、特定の機械システムの経路計画に関連する問題から動機付けられた、リーマン多様体上の滑らかな曲線である。"
"Stiefel多様体は、コンピュータービジョン、ニューラルネットワーク、統計学など、様々な応用分野で重要である。"
"本論文では、Stiefel多様体上のリーマン立方多項式を数値的に近似するための2つの方法を比較する。"