Core Concepts
退化グラフのℓ-頂点ランキング数は、ℓが偶数の場合はO(n^(1-2/(ℓ+1))logn)、ℓが奇数の場合はO(n^(1-2/ℓ)logn)で上界付けられる。
Abstract
本論文では、退化グラフのℓ-頂点ランキング数に関する上界を示した。
退化グラフGは、任意の正整数dと ℓに対して、ℓが偶数の場合はχℓ-vr(G) = O(n^(1-2/(ℓ+1))logn)、ℓが奇数の場合はχℓ-vr(G) = O(n^(1-2/ℓ)logn)を満たす。
この上界は、ℓ = 2とℓ = 3の場合に最適(対数因子を除く)である。
上界の証明では、d-退化グラフでかつ最大次数が∆のグラフに対する結果を示し、それを用いて退化グラフの結果を導いた。
d-退化グラフでかつ最大次数が∆のグラフGに対して、χℓ-vr(G) = O(∆^(⌊ℓ/2⌋-1/2)log^(5/4)n)を示した。さらに、∆^(⌊ℓ/2⌋-1) ≥ lognの場合はχℓ-vr(G) = O(∆^(⌊ℓ/2⌋-1/2)logn)を示した。
上界の証明では、グラフ上の経路の数を上界付けるための新しい手法を用いた。
Stats
退化グラフGは、任意の正整数dと ℓに対して、ℓが偶数の場合はχℓ-vr(G) = O(n^(1-2/(ℓ+1))logn)、ℓが奇数の場合はχℓ-vr(G) = O(n^(1-2/ℓ)logn)を満たす。
d-退化グラフでかつ最大次数が∆のグラフGに対して、χℓ-vr(G) = O(∆^(⌊ℓ/2⌋-1/2)log^(5/4)n)を満たす。さらに、∆^(⌊ℓ/2⌋-1) ≥ lognの場合はχℓ-vr(G) = O(∆^(⌊ℓ/2⌋-1/2)logn)を満たす。