2次元対称行列上の距離関数とself-dual符号

Core Concepts

2次元対称行列上の距離関数を完全に記述し、奇数次元の場合にこの距離関数がself-dual符号と密接に関係していることを示した。

Abstract

本論文では、2次元対称行列の集合SGLn(F2)上の距離関数dpA,Bq = dΓn(A,B)を完全に記述した。特に以下の点が明らかになった:

1. A-Bが非交代行列の場合の距離dpA,Bq (定理2.1)

• A-Bの階数rが奇数の場合、dpA,Bq = r
• A-Bの階数rが偶数の場合、dpA,Bの特殊な性質によって、dpA,Bq = r+1または r+2

2. A-Bが交代行列の場合の距離dpA,Bq (定理2.3)

• A-Bの階数rが偶数の場合、dpA,Bの特殊な性質によって、dpA,Bq = r+1または r+2

さらに、奇数次元の場合、SGLn(F2)の中の特定の行列Aは、距離関数dpA,I)とrank(A-I)の関係から、Fn+1
2 上のself-dual符号を定義することが分かった(定理8.3, 8.5, 8.6, 8.10)。また、self-dual符号全体はOnpF2)の作用で完全に決まることも示された。

Stats

|SGLn(F2)| / |Sn(F2)| = 0.4194224417951075 (n→∞の極限値)
奇数次元nの場合、dpA,I) = (n+5)/2かつrank(A-I) = (n+1)/2を満たすAはself-dual符号を定義する

Quotes

"self-dual符号は完全にOnpF2)の作用で決まる"

Key Insights Distilled From

The distance function on Coxeter-like graphs and self-dual codes

by Mark... at arxiv.org 04-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.17067.pdf

Deeper Inquiries

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