Core Concepts
Newton法の反復は、滑らかな写像の非孤立かつ半正則な零点に対して、二次収束する。また、データの摂動に対しても、近似的な零点に線形収束する。
Abstract
本論文では、Newton法の反復を非孤立解に対して拡張し、その収束性を示している。
まず、非孤立零点の概念として「半正則零点」を定義する。これは、零点の次元と Jacobian行列の nullity が一致するものである。
次に、Jacobian行列のrank-r射影を用いた Newton法の反復を提案する。この反復は、半正則零点の近傍で二次収束することを示す。
さらに、データが摂動された場合でも、この反復は近似的な零点に線形収束することを示す。この際の収束精度は、データの誤差と同程度になる。
幾何学的には、この反復は解集合の最近傍の点に収束する。
このように、本手法は非孤立解の計算を容易にし、代数計算の応用範囲を広げる。
Stats
Newton法の反復は、滑らかな写像の半正則零点に対して二次収束する。
データが摂動された場合でも、Newton法の反復は近似的な零点に線形収束する。その収束精度は、データの誤差と同程度になる。
Quotes
"Newton法の反復は、滑らかな写像の半正則零点に対して、二次収束する。"
"データが摂動された場合でも、Newton法の反復は近似的な零点に線形収束する。その収束精度は、データの誤差と同程度になる。"