Core Concepts
트리 분할 너비를 효율적으로 계산하거나 근사할 수 있는 알고리즘을 제시하고, 이 문제가 XALP-완전하다는 것을 보였다.
Abstract
이 논문은 그래프의 트리 분할 너비 계산 문제에 대해 다룹니다.
첫째, 저자들은 그래프 G와 정수 k가 주어졌을 때, 시간 kO(1)n2에 G의 트리 분할 너비가 O(k7)인 트리 분할을 구축하거나 G의 트리 분할 너비가 k를 초과한다고 보고하는 알고리즘을 제시합니다. 이를 위해 다음과 같은 단계를 거칩니다:
G의 트리 분해를 계산하고, 이를 이용해 보조 그래프 Gb를 구축합니다.
Gb의 연결 요소 크기가 k 이하인지 확인합니다. 그렇지 않으면 G의 트리 분할 너비가 k를 초과한다고 보고합니다.
H를 Gb의 축소 그래프로 정의하고, H의 2-연결 요소에 대한 트리 분해를 계산합니다.
H의 최대 차수가 Cbk2를 초과하면 G의 트리 분할 너비가 k를 초과한다고 보고합니다. 그렇지 않으면 H의 트리 분할 너비가 O(wbk2)인 트리 분할을 구축합니다.
G의 트리 분할 너비가 O(wbk3)인 트리 분할을 구축합니다.
둘째, 저자들은 트리 분할 너비 계산 문제가 XALP-완전하다는 것을 보였습니다. 이는 W[t]-hardness for all t, XP 시간 복잡도, 그리고 XP 공간 복잡도가 필요할 수 있다는 것을 의미합니다.
마지막으로, 저자들은 가중치 트리 분할 너비 계산 문제에 대해서도 유사한 결과를 제시합니다.
Stats
트리 분할 너비가 k 이하인 그래프 G에서, 2-연결 요소의 최대 차수는 O(bk2)이다.