랜덤 도착 모델에서 First-Fit 알고리즘을 이용한 숲 색칠

Core Concepts

First-Fit 알고리즘은 n개의 정점을 가진 숲을 랜덤 순서로 색칠할 때 기대값으로 (1/2 + o(1)) · ln n / ln ln n 개의 색을 사용한다.

Abstract

이 논문에서는 First-Fit 알고리즘을 이용하여 숲을 색칠하는 문제를 다룬다.

First-Fit 알고리즘은 정점을 순서대로 방문하면서 이전에 사용된 색 중 가장 작은 색을 현재 정점에 할당한다.
이 알고리즘의 성능은 랜덤 도착 모델에서 분석되었다. 즉, 정점들이 랜덤한 순서로 주어진다.
저자들은 First-Fit 알고리즘이 기대값으로 (1/2 + o(1)) · ln n / ln ln n 개의 색을 사용한다는 것을 보였다.
또한 이 bound가 최적임을 보이기 위해 (1/2 - o(1)) · ln n / ln ln n 개의 색을 사용하는 숲의 예를 제시했다.
이 결과는 랜덤 도착 모델에서 First-Fit 알고리즘의 성능이 adversarial 모델에 비해 다소 향상됨을 보여준다.

Stats

숲 T에서 First-Fit 알고리즘이 k개의 색을 사용할 확률은 적어도 1 - 1/ln k이다.
숲 T r
k 의 정점 수는 (r + 1)^(k-1)개이다.

Quotes

"First-Fit 알고리즘은 기대값으로 (1/2 + o(1)) · ln n / ln ln n 개의 색을 사용한다."
"이 bound가 최적임을 보이기 위해 (1/2 - o(1)) · ln n / ln ln n 개의 색을 사용하는 숲의 예를 제시했다."

Key Insights Distilled From

First-Fit Coloring of Forests in Random Arrival Model

by Bart... at arxiv.org 04-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.17011.pdf

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