Verallgemeinerte Bayes'sche Filterung unter Berücksichtigung von Modellabweichungen

Core Concepts

Durch Einführung einer zusätzlichen Ungleichungsbedingung zwischen dem realen Systemzustand und dem virtuellen Modellzustand kann die bedingte Wahrscheinlichkeit in eine spezielle Integralform überführt werden, die der Faltung ähnlich ist. Darauf aufbauend wird ein verallgemeinerter Bayes'scher Filterrahmen entwickelt, der Modellabweichungen explizit berücksichtigt.

Abstract

Der Artikel führt ein neues Konzept der "konvolutionalen bedingten Wahrscheinlichkeit" ein, um Modellabweichungen in der Bayes'schen Filterung zu berücksichtigen.
Zunächst wird gezeigt, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit durch Einführung einer zusätzlichen Ungleichungsbedingung in eine konvolutionale Form überführt werden kann. Darauf aufbauend wird ein verallgemeinerter Bayes'scher Filterrahmen, die "konvolutionale Bayes'sche Filterung", entwickelt.
Dieser Rahmen umfasst die standardmäßige Bayes'sche Filterung als Spezialfall, wenn die Distanzmetrik als Dirac-Delta-Funktion gewählt wird. Er ermöglicht es außerdem, Modellabweichungen durch Wahl einer geeigneten Distanzmetrik explizit zu berücksichtigen.
Für lineare Gaußsche Systeme kann die konvolutionale Bayes'sche Filterung analytisch gelöst werden, indem lediglich die Kovarianzmatrizen der Prozess- und Messrauschen angepasst werden. Für nichtlineare Systeme wird eine Approximationstechnik basierend auf exponentieller Dichtereskalierung vorgestellt, die eine effiziente Implementierung ermöglicht.
Abschließend wird ein theoretischer Zusammenhang zwischen der Approximationstechnik und der Informationsflaschenhals-Theorie hergestellt.

Stats

Die Kovarianzmatrix der Übergangwahrscheinlichkeit lautet pc(xt|xt−1) = N(xt; f(xt−1), Q + 1/(2α) · In×n).
Die Kovarianzmatrix der Ausgabewahrscheinlichkeit lautet pc(yt|xt) = N(yt; g(xt), R + 1/(2β) · Im×m).

Quotes

"Durch Einführung einer zusätzlichen Ungleichungsbedingung, die einen Abstandsmetrik zwischen zwei beobachteten Variablen innerhalb eines bestimmten Schwellenwerts festlegt, kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit in eine spezielle Integralform überführen, die der Faltung ähnlich ist."
"Diese Definition lockert die Notwendigkeit der Informationsvollständigkeit, was es uns ermöglicht, einen allgemeineren Filter zu entwerfen."

Key Insights Distilled From

Convolutional Bayesian Filtering

by Wenhan Cao,S... at arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.00481.pdf

Deeper Inquiries

Wie kann die konvolutionale Bayes'sche Filterung auf Probleme mit nicht-Gaußschen Rauschverteilungen erweitert werden

Um die konvolutionale Bayes'sche Filterung auf Probleme mit nicht-Gaußschen Rauschverteilungen zu erweitern, kann man die Approximationstechnik der exponentiellen Dichtereskalierung nutzen. Diese Technik ermöglicht es, die konvolutionale bedingte Wahrscheinlichkeit durch exponentielle Formen mit Bruchpotenzen zu approximieren. Insbesondere kann die konvolutionale Übergangswahrscheinlichkeit und die konvolutionale Ausgabewahrscheinlichkeit einfach in exponentielle Formen mit Bruchpotenzen umgeformt werden. Dies ermöglicht eine effiziente und praktikable Lösung für nicht-Gaußsche Rauschverteilungen in der konvolutionalen Bayes'schen Filterung.

Welche Auswirkungen haben unterschiedliche Wahl der Distanzmetrik auf die Leistung des Filters

Die Wahl der Distanzmetrik hat verschiedene Auswirkungen auf die Leistung des Filters in der konvolutionalen Bayes'schen Filterung. Eine präzise und geeignete Wahl der Distanzmetrik kann die Genauigkeit der Schätzung verbessern, indem sie die Beziehung zwischen den realen und virtuellen Zuständen sowie den Messungen berücksichtigt. Eine ungenaue oder ungeeignete Wahl der Distanzmetrik kann zu Verzerrungen in der Schätzung führen und die Leistung des Filters beeinträchtigen. Darüber hinaus kann die Wahl der Distanzmetrik auch die Effizienz und Konvergenzgeschwindigkeit des Filters beeinflussen, da sie die Art und Weise bestimmt, wie die Bedingungswahrscheinlichkeiten berechnet werden.

Wie kann die Informationsflaschenhals-Theorie genutzt werden, um die Approximationstechnik der exponentiellen Dichtereskalierung weiter zu verbessern

Die Informationsflaschenhals-Theorie kann genutzt werden, um die Approximationstechnik der exponentiellen Dichtereskalierung in der konvolutionalen Bayes'schen Filterung weiter zu verbessern, indem sie eine theoretische Grundlage für die Optimierung des Informationsflusses zwischen den Variablen bietet. Durch die Anwendung der Informationsflaschenhals-Theorie kann man die Balance zwischen der Kompression der Information und der Erhaltung relevanter Informationen steuern, um eine effiziente und präzise Schätzung zu erreichen. Dies ermöglicht es, die Approximationstechnik der exponentiellen Dichtereskalierung gezielt zu optimieren und die Leistung des Filters zu verbessern.